У математиці специфікатор поточково використовується для позначення того, що певна властивість визначається шляхом розгляду кожного значення деякої функції . Важливим класом поточкових понять є поточкові операції. Це операції над функціями, які визначені шляхом застосування деякої операції до значень цих функцій у кожній точці області визначення. Деякі відношення також можуть бути визначені поточково.
Поточкові операції
Формальне означення Бінарна операція на множині може бути зведена до поточкової операції: на множині наступним чином: беремо дві функції і , визначимо функцію як
Часто і позначають одним і тим же символом. Подібне означення застосовується також і до унарних операцій, і до операцій іншої арності.
Приклади Поточкове додавання двох функцій і з однаковими областю визначення та задається формулою
Поточкове множення визначається як
Поточкове множення на скаляр зазвичай записують так, щоб скаляр стояв першим. Якщо — скаляр, то
Прикладом операції над функціями, яка не є поточковою, є згортка.
Властивості Поточкові операції успадковують такі властивості, як асоціативність, комутативність і дистрибутивність, від відповідних операцій на кообласті.
Якщо — деяка алгебрична структура, то множина всіх функцій визначених на (з носієм ) може бути перетворена на алгебраїчну структуру того самого типу аналогічним чином.
Покомпонентні операції Покомпонентні операції зазвичай визначаються на векторах, де вектори є елементами множини для деякого натурального числа та деякого поля .
Якщо позначити -ту компоненту будь-якого вектора як , то покомпонентне додавання визначається як
Покомпонентні операції можуть бути визначені і для матриць. Наприклад, додавання матриць, де
є покомпонентною операцією, тоді як множення матриць не є покомпонентною операцією.
Кортеж можна розглядати як функцію. Оскільки вектор є кортежем, то будь-якому вектору відповідає функція , така що , і будь-яка покомпонентна операція на векторах відповідає поточковій операції на функціях, які відповідають цим векторам.
Поточкові відношення У теорії порядку звично визначати поточковий частковий порядок на функціях.
Нехай та — частково впорядковані множини. Множину функцій можна впорядкувати наступним чином:
Поточкові порядки успадковують деякі властивості від відповідних частково впорядкованих множин. Наприклад, якщо та є , то й множина функцій з поточковим порядком також є неперервною ґраткою.Gierz et al., p. xxxiii
Використовуючи поточковий порядок функцій, можна природньо визначити інші важливі поняття:Gierz et al., p. 26
на частково впорядкованій множині — це монотонне та ідемпотентне відображення (тобто ) з додатковою властивістю
де — тотожне відображення.
Аналогічно, оператор проєктування називається тоді й лише тоді, коли
Прикладом поточкового відношення з нескінченним числом аргументів є поточкова збіжність функцій. Послідовність функцій
збігається поточково до функції , якщо для кожного
Див. також Поточкова операція Поточкова збіжність Частково впорядкована множина Згортка Функціональний аналіз
Примітки
Посилання Для прикладів з теорії порядку: T. S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, . G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, D. S. Scott: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003.