Диференціальне рівняння Дарбу — звичайне диференціальне рівняння такого вигляду:
де , і — многочлени змінних і .
Нормальна (розв’язана відносно похідної) форма цього рівняння має вигляд
яка також може мати набір особливих точок, що задовольняють систему:
Розв’язання рівняння
Загальний випадок Оскільки рівняння Дарбу є узагальненням рівняння Ріккаті (наприклад, якщо покласти , ), то загалом його розв’язок не може бути виражений в квадратурах. Рівняння Дарбу може бути розв’язане в тих випадках, коли знайдено достатню кількість різних часткових розв’язків, що є нескоротними многочленами , . Позначимо .
Випадок 1. Якщо , то загальний розв’язок слід шукати у формі , де , , а — коефіцієнти, що визначаються методом невизначених коефіцієнтів, причому змінна у цьому добутку скорочується.
Випадок 2. Якщо , то дане рівняння Дарбу допускає існування інтегрувального множника, який має таку ж форму, як і добуток , наведений вище.
Однорідний випадок Якщо многочлени , і є однорідними і при цьому та мають однакові степені, то розв’язок може бути знайдений у квадратурах, і для цього існує чіткий алгоритм.
Позначимо , . Якщо , то початкове рівняння є однорідним за аргументом і розв’язується як показано далі.
Підстановка зводить його до рівняння Бернуллі відносно оберненої функції .
Оскільки , і — однорідні многочлени степенів , і відповідно, існують многочлени , і , такі що
Підставивши все в початкове рівняння, одержимо
Якщо , отримане рівняння є рівнянням із відокремленими змінними. Інакше, за теоремою про похідну оберненої функції: що є рівнянням Бернуллі.
Узагальнене рівняння Дарбу Рівняння вигляду
називається узагальненим (однорідним) рівнянням Дарбу, де функції , і — довільні.
Це рівняння також може бути зведене до рівняння Бернуллі тим самим методом, що й вище. Підстановка приводить до рівняння:
або, у формі, розв’язаній відносно похідної:
яке або допускає відокремлення змінних при , або в інших випадках є рівнянням Бернуллі відносно .
Див. також Диференціальне рівняння Бернуллі Рівняння Ріккаті
Джерела