Еліпсоїд Якобі — тривісний еліпсоїд, що відповідає стану гідростатичної рівноваги самогравітуючої рідини однорідної густини, яка обертається з постійною кутовою швидкістю. Він названий на честь німецького математика Карла Густава Якоба Якобі.

Історія До Якобі єдиним типом рівноважного самогравітуючого рідкого еліпсоїда вважали сфероїд Маклорена, виведений у 1742 роції. У 1811 році ЛагранжLagrange, J. L. (1811). Mécanique Analytique sect. IV 2 vol. розглядав можливість рівноваго тривісного еліпсоїда, але дійшов висновку, що дві екваторіальні осі еліпсоїда повинні бути рівними, що знову призводить до сфероїда Маклорена. Але Якобі зрозумів, що доведення Лагранжа є достатньою умовою, але не необхідною. Він зауважив:

Формула Якобі

Для еліпсоїда з екваторіальними півосями і полярною піввіссю , кутова швидкість навколо осі дається формулою

де  — густина, а  — гравітаційна стала, з додатковою умовою

Для фіксованих значень і , вищевказана умова має розв'язок для такий, що

Інтеграли можна виразити через неповні еліптичні інтеграли. У термінах еліптичного інтеграла , формула для кутової швидкості має вигляд

а умову на відносний розмір головних напівосей виглядає так:

Кутовий момент еліпсоїда Якобі задається формулою

де  — маса еліпсоїда, а  — середній радіус, тобто радіус сфери того ж об'єму, що й еліпсоїд.

Зв'язок з еліпсоїдом Дедекінда Еліпсоїди Якобі та Дедекінда є рівноважними фігурами для тіла з обертової однорідної самогравітуючої рідини. Однак, хоча еліпсоїд Якобі обертається навколо тіла, без внутрішнього потоку рідини в обертовій системі відліку, еліпсоїд Дедекінда зберігає фіксовану орієнтацію, а рідина циркулює всередині нього. Це є прямим наслідком .

Для будь-якого заданого еліпсоїда Якобі існує еліпсоїд Дедекінда з тими ж півосями і з такою ж масою, а полем швидкостей потоку має вигляд

де  — декартові координати вздовж координатних осей , направлених вздовж осей еліпсоїда . Тут  — завихреність, яка є рівномірною по всьому сфероїду (). Кутова швидкість еліпсоїда Якобі та завихреність відповідного еліпсоїда Дедекінда пов'язані співвідношенням

Тобто, кожна частинка рідини еліпсоїда Дедекінда описує подібний еліптичний цикл за той самий період, за який сфероїд Якобі здійснює один оберт.

У випадку еліпсоїди Якобі та Дедекінда (і сфероїд Маклорена) збігаються, а обертання тіла збігається з круговим потоком. У цьому випадку , як це завжди справедливо для твердотільного обертання.

У загальному випадку еліпсоїди Якобі та Дедекінда мають однакову енергію, але момент імпульсу сфероїда Якобі більший на множник

Див. також

Сфероїд Маклорена

Примітки