В астродинаміці рівняння живої сили (vis-viva equation) — це одне з основних рівнянь, що описують рух тіл на орбіті. Воно є прямим наслідком закону збереження механічної енергії, який діє у випадку, коли на тіло впливає лише сила тяжіння — тобто гравітаційна сила, що визначається добутком маси тіла на силу гравітаційного поля навколо нього. Термін vis viva (з латини — «жива сила») походить з історії механіки. Таку назву отримало орбітальне рівняння, яке вперше вивів Ісаак Ньютон. Воно відображає принцип, згідно з яким різниця між сумарною роботою прискорювальних і гальмівних сил системи дорівнює половині живої сили, накопиченої або втраченої системою під час виконання цієї роботи.
Формулювання Для будь-якої кеплерівської орбіти — еліптичної, параболічної, гіперболічної або радіальної — рівняння живої сили має такий вигляд:
де:
— відносна швидкість двох тіл; — відстань між центрами мас цих тіл; — довжина великої півосі орбіти (a > 0 для еліпсів, a = ∞ або 1/a = 0 для парабол, a < 0 для гіпербол); — гравітаційна стала; — маса центрального тіла.
Добуток часто позначають грецькою літерою і називають стандартним гравітаційним параметром.
Практичне застосування Знаючи сумарну масу системи та значення (відстані) і (швидкості) в одній точці орбіти, можна обчислити:
значення і в будь-якій іншій точці орбіти; питому орбітальну енергію ε, яка дозволяє визначити тип руху об'єкта: — якщо енергії недостатньо, щоб залишатися на орбіті, тіло є суборбітальним (наприклад, балістична ракета); — якщо енергії достатньо для орбітального руху, але тіло зрештою зіткнеться з центральним об'єктом, орбіта є несталою; — якщо енергії достатньо, щоб залишити систему або прийти з нескінченності, тіло рухається по гіперболічній траєкторії (наприклад, метеор).
Формулу другої космічної швидкості (швидкості втечі) можна отримати з рівняння живої сили, якщо розглянути граничний випадок, коли :
Для заданого радіуса орбіти швидкість втечі дорівнює рази орбітальній швидкості.
Примітки