Стала омега — це математична константа, визначена як єдине дійсне число, що задовольняє рівняння
Це значення дорівнює , де — W-функція Ламберта. Назва пов'язана з альтернативною назвою -функції Ламберта — омега-функції. Числове значення визначається як
(послідовність A030178 в OEIS)
(послідовність — A030797 в OEIS)
Властивості Представлення з фіксованою точкою Визначальна тотожність може бути представлена як
або
а також
Обчислення Одним із способів обчислення є ітеративний метод, починаючи з початкового значення і розглядаючи послідовність
Ця послідовність збігатиметься до , якщо прямує до нескінченності. Це пояснюється тим, що є притяжною нерухомою точкою функції .
Набагато ефективніше використовувати рекурентне співвідношення
оскільки функція
крім того, що має ту ж нерухому точку, також має похідну, що дорівнює в ній нулю. Це гарантує квадратичну збіжність; тобто кількість коректних цифр приблизно подвоюється з кожною ітерацією.
Використовуючи метод Галлея, можна апроксимувати з кубічною збіжністю (кількість коректних цифр приблизно втричі збільшується з кожною ітерацією):
Інтегральні представлення Тотожність, що належить Віктору Адамчику, визначається наступним співвідношенням:
.
Інші співвідношення, що належать Мезо. та Калугіну—Джеффрі—Корлесу., виглядають так:
Останні дві тотожності можуть бути узагальнені на інші значення функції .
Трансцендентність Омега-константа є трансцендентною, що є прямим наслідком теореми Ліндемана — Веєрштрасса. Доведення здійснюється методом від супротивного: нехай є алгебраїчною. Тоді має бути трансцендентною, згідно з теоремою Ліндемана — Веєрштрасса. Проте, оскільки , це суперечить припущенню. Отже, має бути трансцендентним числом.
Див. також W-функція Ламберта Метод Галлея Теорема Ліндемана — Веєрштрасса
Література
Посилання