У математиці просте число Рамануджана — це просте число, яке задовольняє результат щодо функції підрахунку простих чисел, який довів Срініваса Рамануджан.
Походження та визначення 1919 року Рамануджан опублікував нове доведення постулату Бертрана, який, як він зазначає, вперше довів Чебишов. Наприкінці двосторінкової статті Рамануджан отримав узагальнений результат, а саме:
OEIS: A104272
де — функція розподілу простих чисел, що дорівнює кількості простих чисел, менших або рівних x.
Оберненим до цього результату є визначення простих чисел Рамануджана:
-е просте число Рамануджана це найменше ціле числ , для якого для всіх . Іншими словами: прості числа Рамануджана — це найменші цілі числа , для яких між і є принаймні простих чисел для всіх .
Таким чином, перші п'ять простих чисел Рамануджана — це 2, 11, 17, 29 і 41.
Зауважимо, що ціле число обов'язково є простим числом: і, отже, має збільшуються за отримання іншого простого числа при . Оскільки може збільшитися щонайбільше на 1,
Оцінки та асимптотична формула Для всіх , має межі
.
Якщо , то також
де - -е просте число.
Оскільки прямує до нескінченності, наближається до -го простого числа, тобто
.
Усі ці результати довів Сондоу (2009), за винятком верхньої межі , яку запропонував він і довів Лейшрам (2010).. Сондоу, Ніколсон та Ное (2011) покращили межу до
що є оптимальною формою , оскільки рівність виникає при n = 5.
Примітки