Асоційована матриця () — матриця, чиїми елементами є всі мінори заданого розміру іншої матриці. Асоційовані матриці тісно пов'язані з зовнішніми алгебрами і мають застосування в ряді задач фізики та економіки.
Означення Для матриці розміру виберемо підмножину розміру з індексів та підмножину розміру з індексів . Тоді позначимо підматрицю складену з рядків індексованих та стовпців індексованих .
Тоді -та асоційована матриця (позначається ) матриці визначається наступним чином. Якщо , тоді є матрицею розміру . Інакше, має розмір . Її рядки та стовпці індексовані -елементними підмножинами із та , відповідно, в лексикографічному порядку. А елементом що відповідає індексам та є мінор .
Приклад Для матриці
Індекси строк {1, 2, 3} та індекси стовпців {1, 2, 3, 4}. Тому рядки індексуватимуться множинами
а стовпці індексуватимуться множинами
Виберемо відповідні рядки та стовпці, щоб сформувати визначники, які будуть елементами асоційованої матриці:
Властивості — одинична матриця. . . Якщо , то . Якщо , то .
Якщо :
. .
Якщо квадратна матриця розміру :
Якщо — невироджена, то
Якщо одну з наступних властивостей, то і має її: верхня/нижня трикутна діагональна ортогональна унітарна симетрична ермітова косо-симетрична (якщо — непарне) косо-ермітова (якщо — непарне) додатновизначена нормальна
Зв'язок з зовнішньою алгеброю ...
Зв'язок з союзною матрицею ...
Джерела