мини | десно | alt=Јохан Фридрих Пфаф | Јохан Фридрих Пфаф У математици, детерминанта m-са-m кососиметричне матрице се увек може написати као квадрат полинома у уносима матрице, полинома са целобројним коефицијентима који зависи само од m. Када је m непаран, полином је нула, а када је m паран, он је не-нула полином степена m/2, и јединствен је до на множење са ±1. Конвенција о кососиметричним тридијагоналним матрицама, дата испод у примерима, затим одређује један специфичан полином, који се назива Пфафијанов полином. Вредност овог полинома, када се примени на уносе кососиметричне матрице, назива се Пфафијан те матрице. Термин Пфафијан је увео , који га је индиректно назвао по Јохану Фридриху Пфафу.
Експлицитно, за кососиметричну матрицу ,
што је први доказао , који цитира Јакобија за увођење ових полинома у раду о Пфафијановим системима диференцијалних једначина. Кејли добија ову релацију специјализацијом општијег резултата о матрицама које одступају од кососиметрије само у првом реду и првој колони. Детерминанта такве матрице је производ Пфафијана двеју матрица добијених тако што се прво у оригиналној матрици горњи леви унос постави на нулу, а затим се респективно копира негативни транспонат првог реда у прву колону и негативни транспонат прве колоне у први ред. Ово се доказује математичком индукцијом развијањем детерминанте по минорима и применом рекурзивне формуле испод.
Примери
(3 је непаран број, па је Пфафијан матрице B једнак 0)
Пфафијан 2n × 2n кососиметричне тридијагоналне матрице дат је као
(Напомена: свака кососиметрична матрица може се свести на овај облик; погледајте спектралну теорију кососиметричне матрице.)
Формална дефиниција
Нека је A = (aij) 2n × 2n кососиметрична матрица. Пфафијан матрице A је експлицитно дефинисан формулом
где је S2n симетрична група степена 2n, а sgn(σ) је знак (сигнатура) од σ.
Може се искористити кососиметрија матрице A да би се избегло сумирање преко свих могућих пермутација. Нека је Π скуп свих партиција на парове без обзира на редослед. Постоји таквих партиција. Пермутација σ одређује партицију
Због кососиметрије матрице A, свих пермутација које одређују дату партицију доприносе истом износу суми. Стога се број чланова у суми може смањити одабиром једне пермутације за сваку могућу партицију. Елемент може се записати као
са и . Нека је
одговарајућа пермутација. За дату партицију α као горе, дефинишемо
Пфафијан матрице A је тада дат као
Пфафијан n × n кососиметричне матрице за непарно n се дефинише као нула, јер је детерминанта непарне кососиметричне матрице нула, пошто за кососиметричну матрицу важи,
а за непарно n, ово имплицира .
Рекурзивна дефиниција
По конвенцији, Пфафијан 0 × 0 матрице једнак је један. Пфафијан кососиметричне 2n × 2n матрице A са може се израчунати рекурзивно као
где се индекс i може изабрати произвољно, је Хевисајдова одскочна функција, а означава матрицу A са уклоњеним i-тим и j-тим редовима и колонама. Приметите како се за специјални избор ово своди на једноставнији израз:
Алтернативне дефиниције Свакој кососиметричној 2n × 2n матрици може се придружити бивектор
где је стандардна база од R2n. Пфафијан је тада дефинисан једначином
где ωn означава спољашњи производ n копија од ω.
Еквивалентно, можемо посматрати бивектор (што је погодније када не желимо да наметнемо ограничење сумирања ):
што даје
Непарно уопштење Не-нулта генерализација Пфафијана на непарно-димензионалне матрице дата је у раду де Бројна о вишеструким интегралима који укључују детерминанте. Конкретно за било коју m × m матрицу A, користимо формалну дефиницију изнад, али постављамо . За непарно m, може се тада показати да је ово једнако уобичајеном Пфафијану (m+1) × (m+1)-димензионалне кососиметричне матрице којој смо додали (m+1)-ву колону која се састоји од m елемената 1, (m+1)-ви ред који се састоји од m елемената −1, док је угаони елемент нула. Уобичајена својства Пфафијана, на пример однос према детерминанти, тада се примењују на ову проширену матрицу.
Својства и идентитети
Пфафијани имају следећа својства, која су слична својствима детерминанти. Множење реда и колоне константом еквивалентно је множењу Пфафијана истом константом. Истовремена замена два различита реда и одговарајућих колона мења знак Пфафијана. Умножак реда и одговарајуће колоне додат другом реду и одговарајућој колони не мења вредност Пфафијана. Користећи ова својства, Пфафијани се могу брзо израчунати, слично израчунавању детерминанти.
Разно
За 2n × 2n кососиметричну матрицу A
За произвољну 2n × 2n матрицу B,
Заменом у овој једначини B = Am, добија се за све целе бројеве m
Идентитети извода
Ако A зависи од неке променљиве xi, онда је градијент Пфафијана дат са
а Хесијан Пфафијана је дат са
Следећа формула важи чак и ако је матрица сингуларна за неке вредности променљиве :
где је кососиметрична матрица добијена из матрице брисањем редова и колона .
Идентитети трага
Производ Пфафијана кососиметричних матрица A и B може се представити у облику експоненцијалне функције
Претпоставимо да су A и B 2n × 2n кососиметричне матрице, тада
а Bn(s1,s2,...,sn) су Белови полиноми.
Блок матрице
За блок-дијагоналну матрицу
За произвољну n × n матрицу M:
Често је потребно израчунати Пфафијан кососиметричне матрице са блок структуром
где су и кососиметричне матрице, а је општа правоугаона матрица.
Када је матрица инверзибилна, важи
Ово се може видети из Ејткенове формуле за блок-дијагонализацију,A. C. Aitken. Determinants and matrices. Oliver and Boyd, Edinburgh, fourth edition, 1939. Zhang, Fuzhen, ed. The Schur complement and its applications. Vol. 4. Springer Science & Business Media, 2006.Bunch, James R. .
Ова декомпозиција укључује трансформацију конгруенције која омогућава коришћење својства Пфафијана .
Слично томе, када је матрица инверзибилна, важи
као што се може видети применом декомпозиције
Нумеричко израчунавање Пфафијана Претпоставимо да је A 2n × 2n кососиметрична матрица, тада
где је друга Паулијева матрица, је јединична матрица димензије n, а узели смо траг преко матричног логаритма.
Ова једнакост се заснива на идентитету трага
и на запажању да је .
Пошто је израчунавање логаритма матрице рачунарски захтеван задатак, уместо тога се могу израчунати све сопствене вредности , узети њихов логаритам и сабрати их. Ова процедура једноставно користи својство . Ово се може имплементирати у програмском пакету Mathematica једном наредбом: Pf[x_] := Module[{n = Dimensions[x]1 / 2}, I^(n^2) Exp[ 1/2 Total[ Log[Eigenvalues[ Dot[Transpose[KroneckerProduct[PauliMatrix, IdentityMatrix[n]]], x] ]]]]] Међутим, овај алгоритам је нестабилан када је Пфафијан велики. Сопствене вредности ће генерално бити комплексне, а логаритам ових комплексних сопствених вредности се генерално узима да буде у . Под сумацијом, за Пфафијан са реалним вредностима, аргумент експоненцијалне функције биће дат у облику за неки цео број . Када је веома велико, грешке заокруживања при израчунавању резултујућег знака из комплексне фазе могу довести до не-нултне имагинарне компоненте.
За друге (више) ефикасне алгоритме погледајте .
Примене Пфафијан је инваријантни полином кососиметричне матрице под одговарајућом ортогоналном променом базе. Као такав, важан је у теорији карактеристичних класа. Конкретно, може се користити за дефинисање Ојлерове класе Риманове многострукости која се користи у уопштеној Гаус-Бонеовој теореми. Постоје програми за нумеричко израчунавање Пфафијана на различитим платформама (Пајтон, Матлаб, Mathematica) . Број савршених упаривања у планарном графу дат је Пфафијаном, стога је израчунљив у полиномијалном времену путем ФКТ алгоритма. Ово је изненађујуће с обзиром на то да је за опште графове проблем веома тежак (#P-комплетан проблем). Овај резултат се користи за израчунавање броја поплочавања доминама правоугаоника, партиционе функције Изингових модела у физици, или Марковљевих случајних поља у машинском учењу (; ), где је основни граф планаран. Такође се користи за извођење ефикасних алгоритама за неке иначе наизглед нерешиве проблеме, укључујући ефикасну симулацију одређених типова ограниченог квантног рачунања. Погледајте холографски алгоритам за више информација.
Види још Детерминанта Модел димера Хафнијан Статистичка механика
Референце
Литература
Reprinted in Collected mathematical papers, volume 2.
Online
Спољашње везе
T. Jones, The Pfaffian and the Wedge Product (демонстрација доказа односа Пфафијана и детерминанте) R. Kenyon и A. Okounkov, What is ... a dimer?
W. Ledermann "A note on skew-symmetric determinants"
Категорија:Детерминанте Категорија:Мултилинеарна алгебра