У линеарној алгебри, -{QR}- декомпозиција, такође позната као -{QR}- факторизација или -{QU}- факторизација, је декомпозиција матрице A у производ A. = -{QR}- ортогоналне матрице -{Q}- и горње троугаоне матрице -{R.}- -{QR}- декомпозиција је основа за алгоритам проналажења сопствених вредности, -{QR}- алгоритам .
Случајеви и дефиниције
Квадратна матрица Било која реална квадратна матрица -{А}- може се разложити као
где је -{Q}- ортогонална матрица (њене колоне су ортогонални јединични вектори, што значи и -{R}- је горња троугаона матрица. Ако је -{A}- инвертибилна, онда је факторизација јединствена ако захтевамо да дијагонални елементи -{R}- буду позитивни.
Ако је уместо тога -{A}- комплексна квадратна матрица, онда постоји декомпозиција -{A}- = -{QR}- где је -{Q}- унитарна матрица (па је конјугована транспонована
Ако матрица -{A}- има -{n}- линеарно независних колона, онда првих -{n}- колона од -{Q}- чине ортонормирану базу за простор колона -{A.}- Генералније, првих -{k}- колона од -{Q}- чине ортонормалну базу за распон првих -{k}- колона од -{A}- за било које . Чињеница да било која колона -{k}- од -{A}- зависи само од првих -{k}- колона од -{Q}- одговара троугаоном облику -{Р.}- мини|Геометријска интерпретација -{QR}- декомпозиције у две димензије, која приказује горње-троугаону трансформацију праћену ортогоналном трансформацијом.
Правоугаона матрица Уопштено, можемо факторисати комплексну матрицу -{A}- димензија m × n, где је , као производ унитарне матрице Q димензија m × m и горње троугаоне матрице R димензија m × n . Пошто се доњи ( m − n ) редови горње троугаоне матрице димензија m × n састоје искључиво од нула, често је корисно поделити R, или и R и Q :
где је R1 горње троугаона матрица димензија n × n, 0 је нулта матрица димензија , Q1 је m × n, Q2 је , и Q1 и Q2 обе имају ортогоналне колоне .
QL, RQ и LQ декомпозиције Аналогно, можемо дефинисати QL, RQ и LQ декомпозиције, где је L доња троугаона матрица.
Израчунавање -{QR}- декомпозиције Постоји неколико метода за израчунавање -{QR}- декомпозиције, као што су Грам-Шмитов поступак, Хаусхолдерове трансформације или Гивенсове ротације . Свака има своје предности и мане.
Коришћење Грам-Шмитовог поступка Размотримо Грам-Шмитов поступак примењен на колоне матрице ранга целе колоне са скаларним производом (или за сложен случај).
Дефинишемо пројекцију:
Затим, можемо израчунати помоћу Грам-Шмита на следећи начин:
Сада можемо изразити s преко наше новоизрачунате ортогоналне базе:
где је:
и
Пример мини|Геометријска интерпретација -{QR}- декомпозиције у три димензије, која илуструје структуру факторизације као горње троугаоне трансформације праћене ортогоналном трансформацијом. Размотримо декомпозицију
Подсетимо се да ортонормална матрица има особину
Затим, можемо да израчунамо помоћу Грам-Шмита на следећи начин:
Дакле, имамо
Сада посматрајте:
Пример Хајде да израчунамо разлагање
Сада посматрајте:
Овде,
and
Пример Хајде да израчунамо декомпозицију
где означава нулту матрицу и је унитарна матрица.
Из својстава декомпозиције на сингуларне вредности (SVD) и детерминанте матрице, имамо
где су сингуларне вредности од
Уопштења Ивасавина декомпозиција уопштава -{QR}- декомпозицију на полупросте Лијеве групе.
Референце
Спољашње везе Онлајн калкулатор матрица врши -{QR}- декомпозицију матрица. LAPACK кориснички приручник даје детаље о потпрограмама за израчунавање -{QR}- декомпозиције Кориснички приручник за Mathematica даје детаље и примере рутина за израчунавање -{QR}- декомпозиције ALGLIB укључује делимични порт LAPACK-а на C++, C#, Delphi итд. Eigen::-{QR}- Укључује C++ имплементацију -{QR}- декомпозиције.
Категорија:Нумеричка линеарна алгебра Категорија:Матричне декомпозиције