У математици, дуалност (или двојност) преводи концепте, теореме или математичке структуре у друге концепте, теореме или структуре на бијективан (један-на-један) начин, често (али не увек) помоћу операције инволуције: ако је дуал од једнак , онда је дуал од једнак . У другим случајевима дуал дуала — двоструки дуал или бидуал — није нужно идентичан оригиналу (који се такође назива примал). Такве инволуције понекад имају фиксне тачке, тако да је дуал од само . На пример, Дезаргова теорема је самодуална у овом смислу под стандардном дуалношћу у пројективној геометрији.

У математичким контекстима, дуалност има бројна значења. Описана је као „веома свеобухватан и важан концепт у (модерној) математици” и „важан општи тематски оквир који се манифестује у готово свакој области математике”.

Многе математичке дуалности између објеката два типа одговарају упаривањима, односно билинеарним функцијама са објекта једног типа и другог објекта другог типа на неку фамилију скалара. На пример, дуалност линеарне алгебре на овај начин одговара билинеарним пресликавањима са парова векторских простора на скаларе, дуалност између дистрибуција и припадајућих тест функција одговара упаривању у којем се интегрише дистрибуција у односу на тест функцију, а Поенкареова дуалност слично одговара броју пресека, посматраном као упаривање између подмногострукости дате многострукости.

Из угла теорије категорија, дуалност се такође може посматрати као функтор, барем у домену векторских простора. Овај функтор додељује сваком простору његов дуални простор, а конструкција повлачења (енгл. ) додељује свакој стрелици њен дуал .

Уводни примери Према речима Мајкла Атије,

Следећи списак примера приказује заједничке карактеристике многих дуалности, али такође указује да прецизно значење дуалности може варирати од случаја до случаја.

Комплемент подскупа Једноставна дуалност произилази из разматрања подскупова фиксираног скупа . За било који подскуп , комплемент (такође означен као ) састоји се од свих оних елемената у који нису садржани у . То је поново подскуп од . Узимање комплемента има следећа својства: Његова двострука примена враћа оригинални скуп, тј. . Ово се описује тако што се каже да је операција узимања комплемента инволуција. Инклузија скупова се претвара у инклузију у супротном смеру . За два дата подскупа и скупа , је садржано у ако и само ако је садржано у .

Ова дуалност се појављује у топологији као дуалност између отворених и затворених подскупова неког фиксираног типолошког простора : подскуп скупа је затворен ако и само ако је његов комплемент у отворен. Због тога су многе теореме о затвореним скуповима дуалне теоремама о отвореним скуповима. На пример, свака унија отворених скупова је отворена, па је дуално, сваки пресек затворених скупова затворен. Унутрашњост скупа је највећи отворени скуп који је у њему садржан, а затворење скупа је најмањи затворени скуп који га садржи. Због ове дуалности, комплемент унутрашњости било ког скупа једнак је затворењу комплемента од .

Дуални конус десно|мини|Скуп (плаво) и његов дуални конус (црвено). Дуалност у геометрији је омогућена конструкцијом дуалног конуса. За дати скуп тачака у равни (или генералније тачака у дуални конус је дефинисан као скуп који се састоји од оних тачака које задовољавају

за све тачке у , као што је илустровано на дијаграму. За разлику од горе поменутог комплемента скупова, генерално није тачно да двострука примена конструкције дуалног конуса враћа оригинални скуп . Уместо тога, је најмањи конусПрецизније, је најмањи затворени конвексни конус који садржи . који садржи и који може бити већи од . Зато је ова дуалност слабија од претходне, у смислу да: Двострука примена операције враћа потенцијално већи скуп: за свако , је садржано у . (За нека , тачније за конусе, ова два су заправо једнака.) Остала два својства се преносе без промена: И даље важи да се инклузија претвара у инклузију у супротном смеру (). За дата два подскупа и равни, је садржано у ако и само ако је садржано у .

Дуални векторски простор Веома важан пример дуалности настаје у линеарној алгебри придруживањем сваком векторском простору његовог дуалног векторског простора . Његови елементи су линеарни функционали , где је поље над којим је дефинисан . Три својства дуалног конуса преносе се на овај тип дуалности заменом подскупова од векторским простором и инклузија таквих подскупова линеарним пресликавањима. То јест: Двострука примена операције узимања дуалног векторског простора даје други векторски простор . Увек постоји пресликавање . За неке , тачније за коначнодимензионалне векторске просторе, ово пресликавање је изоморфизам.  Линеарно пресликавање ствара пресликавање у супротном смеру (). За дата два векторска простора и , пресликавања са у одговарају пресликавањима са у . Посебна карактеристика ове дуалности је да су и изоморфни за одређене објекте, односно коначнодимензионалне векторске просторе. Међутим, ово је у неку руку срећна околност, јер давање таквог изоморфизма захтева одређени избор, на пример избор базе простора . Ово је такође тачно у случају ако је Хилбертов простор, преко Рисове теореме о репрезентацији.

Галоаова теорија

У свим претходно разматраним дуалностима, дуал објекта је исте врсте као и сам објекат. На пример, дуал векторског простора је поново векторски простор. Многе тврдње о дуалности нису ове врсте. Уместо тога, такве дуалности откривају блиску везу између објеката наизглед различите природе. Један пример такве општије дуалности је из Галоаове теорије. За фиксирану Галоаову екстензију , може се придружити Галоаова група сваком међупољу (тј. ). Ова група је подгрупа Галоаове групе . Обрнуто, за сваку такву подгрупу постоји фиксно поље које се састоји од елемената фиксираних елементима у .

У поређењу са горенаведеним, ова дуалност има следеће карактеристике: Екстензија међупоља даје инклузију Галоаових група у супротном смеру: . Придруживање пољу и групи су инверзни једно другом. Ово је садржај основне теореме Галоаове теорије.

Дуалности које обрћу поредак мини|Хасеов дијаграм партитивног скупа за , делимично уређеног преко . Дуални посет (парцијално уређени скуп), тј. уређење преко , добија се окретањем дијаграма наопако. Зелени чворови формирају горњи скуп у оригиналном, односно доњи скуп у дуалном поретку.

За дати посет (скраћено од парцијално уређен скуп; тј. скуп који има појам уређења али у којем два елемента не могу нужно бити постављена у поредак један у односу на други), дуални посет обухвата исти основни скуп али са инверзном релацијом. Познати примери дуалних парцијалних поредака укључују релације подскупа и надскупа и на било којој колекцији скупова, као што су подскупови фиксираног скупа . Ово доводи до првог примера дуалности поменутог горе. релације дели и садржилац од на целим бројевима. релације потомак-од и предак-од на скупу људи.

Трансформација дуалности је инволутивни антиаутоморфизам парцијално уређеног скупа , односно инволуција која обрће поредак . У неколико важних случајева ова једноставна својства јединствено одређују трансформацију до на неке једноставне симетрије. На пример, ако су , две трансформације дуалности онда је њихова композиција аутоморфизам поретка за ; дакле, било које две трансформације дуалности се разликују само за аутоморфизам поретка. На пример, сви аутоморфизми поретка партитивног скупа индуковани су пермутацијама скупа .

Концепт дефинисан за парцијални поредак одговараће дуалном концепту на дуалном посету . На пример, минимални елемент од ће бити максимални елемент од : минималност и максималност су дуални концепти у теорији поретка. Други парови дуалних концепата су горња и доња граница, доњи и горњи скупови, као и идеали и филтери.

У топологији, отворени и затворени скупови су дуални концепти: комплемент отвореног скупа је затворен скуп, и обрнуто. У теорији матроида, фамилија скупова комплементарних независним скуповима датог матроида и сама формира други матроид, који се назива дуални матроид.

Дуалности које обрћу димензије мини|200п|Карактеристике коцке и њеног дуалног октаедра одговарају једна-на-једну са обрнутим димензијама. Постоји много различитих, али међусобно повезаних дуалности у којима геометријски или типолошки објекти одговарају другим објектима истог типа, али уз обртање димензија карактеристика објеката. Класичан пример (познат Еуклиду) за ово је дуалност Платонових тела, у којој коцка и октаедар чине дуални пар, додекаедар и икосаедар чине дуални пар, док је тетраедар самодуалан.  Дуални полиједар било ког од ових полиједара може се формирати као конвексни омотач централних тачака сваке стране прималног полиједра, тако да темена дуала одговарају један-на-један странама примала. Слично томе, свака ивица дуала одговара ивици примала, а свака страна дуала одговара темену примала. Ове кореспонденције чувају инциденцију: ако се два дела прималног полиједра додирују, додирују се и одговарајућа два дела дуалног полиједра. Општије, користећи концепт поларне реципрочности, сваки конвексни полиједар, или генералније сваки конвексни политоп, одговара дуалном полиједру или дуалном политопу, при чему -димензионална карактеристика -димензионалног политопа одговара -димензионалној карактеристици дуалног политопа. Природа дуалности која чува инциденцију огледа се у чињеници да су мреже страна (енгл. ) прималног и дуалног полиједра или политопа заправо дуалне у теорији поретка. Дуалност политопа и дуалност у теорији поретка су инволуције: дуални политоп дуалног политопа било ког политопа је оригинални политоп, а двоструко обртање свих релација поретка враћа на оригинални поредак. Избор различитог центра поларности доводи до геометријски различитих дуалних политопа, али сви имају исту комбинаторну структуру.

десно|мини|240п|Планарни граф у плавој, и његов дуални граф у црвеној боји. Од сваког тродимензионалног полиједра може се формирати планарни граф, граф његових темена и ивица. Дуални полиједар има дуални граф, граф са једним теменом за сваку страну полиједра и са једном ивицом за сваке две суседне стране. Исти концепт дуалности планарног графа може се уопштити на графове који су нацртани у равни али не потичу од тродимензионалног полиједра, или генералније на утапања графова на површима вишег рода: може се нацртати дуални граф смештањем једног темена унутар сваког региона ограниченог циклусом ивица у утапању, и цртањем ивице која повезује било која два региона који деле граничну ивицу. Важан пример овог типа долази из рачунарске геометрије: дуалност за сваки коначни скуп тачака у равни између Делонеове триангулације скупа и Воронојевог дијаграма скупа . Као и код дуалних полиједара и дуалних политопа, дуалност графова на површинама је инволуција која обрће димензије: свако теме у прималном утопљеном графу одговара региону дуалног утапања, сваку ивицу у прималу сече ивица у дуалу, а сваки регион примала одговара темену дуала. Дуални граф зависи од тога како је примални граф утопљен: различита планарна утапања једног графа могу довести до различитих дуалних графова. Дуалност матроида је алгебарска екстензија дуалности планарног графа, у смислу да је дуални матроид графичког матроида планарног графа изоморфан графичком матроиду дуалног графа.

Врста геометријске дуалности се такође јавља у теорији оптимизације, али не она која обрће димензије. Линеарни програм може бити спецификован системом реалних променљивих (координате за тачку у еуклидском простору системом линеарних ограничења (који специфицирају да тачка лежи у полупростору; пресек ових полупростора је конвексни политоп, допустиви домен програма), и линеарном функцијом (коју треба оптимизовати). Сваки линеарни програм има дуални проблем са истим оптималним решењем, али променљиве у дуалном проблему одговарају ограничењима у прималном проблему и обрнуто.

Дуалност у логици и теорији скупова