мини|Анимација објашњава својства корелације рангова. На осама су приказане вредности упоређених променљивих. Тачке симболизују опсервације у узорку. Спирманов коефицијент корелације рангова се израчунава у две фазе: прво се врши рангирање, односно замена сваке уочене вредности њеним редним бројем у скупу сортираном растућим редоследом. Рангирање је овде приказано у облику анимације како би се омогућило праћење сваке опсервације; у стварности нема међуфаза. Затим се израчунава обичан Пирсонов коефицијент линеарне корелацијеОво је процедура у складу са дефиницијама (1), (2), (2а), (2б), (2ц). Оценитељи (6), (6а), (7) своде се на њу у одсуству поновљених вредности у свакој од променљивих. Доказ се налази у монографији .. Иако је осетљив на аутлајере (екстремне вредности), рангирање их приближава осталима, чиме се елиминише њихов ометајући утицај на резултат. За овде приказане податке, пре рангирања коефицијент корелације није статистички значајан Исти коефицијент за рангове већ показује значајну зависност између променљивих Монотона нелинеарна зависност се при рангирању трансформише у линеарнуИзвођење за строгу растућу зависност: нека означава број елемената у скупу одатле , услед чега Пирсонов коефицијент линеарне корелације, примењен на рангове, мери јачину монотоне зависности. Спирманов коефицијент корелације рангова (или Спирманова ранговна корелација, Спирманов ро) једна је од непараметарских мера монотоне статистичке зависности између случајних променљивих.

Узима вредности од -1 до +1 укључујући и њих. Крајњи резултат +1 значи да пораст једне променљиве увек повлачи за собом пораст друге, резултат -1 значи да пораст једне променљиве повлачи за собом пад друге, док 0 означава недостатак откривене зависности. За разлику од класичног Пирсоновог коефицијента корелације, ова зависност не мора бити линеарна.

Првобитна идеја корелације рангова била је позната и раније и потицала је од Бинеа и Анрија, међутим, овај коефицијент је детаљно описао и популаризовао тек 1904. године енглески психолог Чарлс Спирман. Он је приметио да се у многим истраживањима не може применити класични коефицијент корелације или он даје лажно значајне резултате због вишка екстремних вредности (аутлајера).

Спирман је дефинисао свој коефицијент као Пирсонов коефицијент корелације, израчунат за рангове променљивих (одатле назив коефицијент корелације рангова). Данас се користи неколико његових верзија, које се незнатно разликују. Њихове вредности су идентичне у случају када се опсервације сваке променљиве у узорку не понављају. Ако то, међутим, није тачно, онда коефицијент корелације за рангове описује једино формула (2) и њене варијације. Упркос томе, често се користи и једноставнија формула (7).

Примена и интерпретација Корелација рангова узима вредности из интервала [-1, +1], а њихова интерпретација је слична класичном Пирсоновом коефицијенту корелације, уз напомену: за разлику од Пирсоновог коефицијента, који мери линеарну зависност између променљивих, а све друге везе третира као поремећаје линеарне зависности, корелација рангова показује било коју монотону зависност (такође и нелинеарну).

Модел корелације рангова садржи ширу класу зависности од модела класичног коефицијента корелације, али не обухвата све могуће зависности. На пример, периодична зависност, која се често среће у анализи временских серија, где се назива сезоналност, не открива се ни Пирсоновом ни Спирмановом корелацијом.

Као метода рангова, Спирманов ро је само у малој мери осетљив на екстремне вредностиУдаљавањем било које опсервације све више од средине, неограничено се повећава њен утицај на Пирсонов коефицијент корелације, јер она има све већи удео у коваријанси у његовом бројиоцу и стандардним девијацијама у имениоцу. Утицај екстремних вредности на корелацију рангова је, међутим, ограничен, јер ранг те опсервације након достизања вредности 1 или престаје да се мења, а са њим и резултат., због чега је посебно користан у анализи података ниског квалитета.

Спирманов коефицијент корелације зависи искључиво од редоследа уочених вредности. Стога се може применити на било које променљиве чије се вредности могу поређати растућим редоследом. Класични коефицијент корелације нема смислену интерпретацију за променљиве на ординалној скали, јер зависи од разлика између вредности променљивих, које за ординалне особине нису дефинисане.

Спирманов коефицијент корелације и тестови његове значајности могу се применити при било ком расподели упоређених променљивих.

Спирманова корелација рангова се такође може описати као нагиб (коефицијент правца) праве која је најбоље прилагођена (у смислу најмањих квадрата) скупу парова рангова. Постоје и друге, егзотичније интерпретације, али оне немају практичан значајНа пример, постоји геометријска интерпретација овог коефицијента као еуклидске удаљености темена одговарајуће конструисаног n-1-димензионалног полиедра са темена и једнаком дужином ивице уроњеног у простор -димензија. .

Зависност између случајних променљивих (независно од тога којим показатељем се мери) не мора означавати узрочно-последичну везуВише о овој теми у чланку Корелација не подразумева узрочност..

Спирманова корелација рангова случајних променљивих Ова верзија има значај у теоријској статистици. Вредности било којих статистичких мера израчунатих из узорка згодно је сматрати оценитељима (апроксимацијама) мера израчунатих на основу расподеле случајне променљиве из које је узорак извучен. У случају мера корелације, за променљиве и то ће бити дводимензионална расподела вектора

Спирманова корелација рангова случајних променљивих и изражена је формулом:

где: – Пирсонов коефицијент корелацијеКоефицијент корелације се израчунава за случајне променљиве. Функција расподеле није случајна променљива, али композиција јесте случајна променљива, јер је функција која додељује реалне бројеве случајним догађајима. Слично Употреба уместо је неопходна да би се одразио начин израчунавања везаних рангова за дискретне променљиве. Види: .,

– функција расподеле (кумулативна) променљиве у тачки – левострана гранична вредност у тачки

За непрекидне случајне променљиве важи и ова формула се своди на:

где – функције расподеле упоређених променљивих, – коваријанса.

Спирманова корелација рангова из узорка У пракси се коефицијент корелације рангова израчунава за статистички узорак. Формуле које се за то користе могу се сматрати оценитељима (апроксимацијама) корелације рангова дате формулом (1) или корелације рангова која постоји у статистичкој популацији. Апроксимације, међутим, нису исто што и апроксимирана вредност. Њихови резултати ће стога ради разликовања бити означени са слично као у литератури.

Коефицијент се израчунава на следећи начин: 1. За сваку упоређену променљиву врши се независно рангирање, односно: 1а. Уочене вредности дате променљиве се ређају растућим редоследом. 1б. Свакој вредности додељује се ранг једнак позицији дате вредности у растућем редоследу (најмања добија ранг 1, следећа 2 итд.). 1в. У случају када се дата вредност јавља више пута, сваком од појављивања се додељује исти ранг једнак аритметичкој средини позиција у растућем редоследу (везани ранг или здружени ранг, енгл. tied rank). Тиме се могу јавити разломљени рангови, нпр. ранг 1,5. 2. Након повратка на првобитни редослед вредности у променљивим, израчунава се корелација рангова према једној од доле наведених формула. Постоје различите формуле, јер поједини оценитељи корелације рангова имају различита својства. Ако нема везаних рангова, све оне дају исти резултат. Ако постоје везани рангови, онда су формула (2) и њене варијације у складу са првобитном Спирмановом концепцијом. Упркос томе, често се користи формула (7), што део аутора сматра неправилним.

Формуле које узимају у обзир везане рангове Оригинални Спирманов предлог У оригиналном Спирмановом приступу, његова корелација рангова је Пирсонов коефицијент корелације израчунат за рангове променљивих уместо њихових сирових вредности, што је директан превод формуле (1) на језик рангова.

где: – класични коефицијент корелације, – рангови променљиве у узорку, – рангови променљиве у узорку.

Ова формула се може сматрати узорачким еквивалентом формуле (1). Расписивање формуле за Пирсонову корелацију води до:

Верзија заснована на разлици рангова Исти оценитељ се може записати у другој, еквивалентној верзији као:

где:

је број опсервација у узорку које имају исту -ту вредност ранга променљиве је број опсервација у узорку које имају исту -ту вредност ранга променљиве сумирање се врши по свим вредностима рангова – довољно је сабрати везане рангове, јер је за остале (аналогно ); када у датој променљивој нема везаних рангова, или је једнако нули.

Верзија за табелу контингеније Расподела ординалних случајних променљивих у узорку може се представити у облику табеле контингенције, у којој колоне одговарају уређеним вредностима једне променљиве (означене са ), редови уређеним вредностима друге променљиве (означене са ), а у ћелијама табеле се налазе фреквенције

Формула (2) тада поприма облик:

где су: – индекси редова и колона, – број редова и колона,

– збир -тог реда, – збир -те колоне, – збир целе табеле.

Данас је оценитељ (2) стандардна формула коју користе нпр. статистички пакети SAS и SPSS, као и научни радови из области статистике који узимају у обзир везане рангове. У уџбеницима статистике и научним радовима из других области и даље је популаран образац (7), због степена компликације формула (2а) или (2б) који отежава ручно рачунање, иако је у прорачунима на рачунару формула (2) чак једноставнија за применуНпр. у пакету Microsoft Excel доступна је функција CORREL (или PEARSON) која израчунава Пирсонову корелацију. Довољно ју је применити на рангирани скуп уместо самосталне имплементације формуле (7)..

Понекад се оценитељ (2)/(2а)/(2б)/(2ц) назива „коригована корелација рангова”.

Исправка формуле за у случају везаних рангова која произилази из примене формула (2)/(2а)/(2б)/(2ц) опширно је разматрана у Кендаловој монографији. Леман показује асимптотску конвергенцију ка нормалној расподели у случају када је број везаних рангова ограничен.

Формула за везане рангове настале агрегацијом Понављајуће вредности променљивих, а тиме и везани рангови, могу настати на два начина у зависности од природе испитиваног појава: као одраз стварних понављајућих вредности у популацији – пример може бити примена корелације рангова за израчунавање зависности две променљиве на ординалној скали, као што је образовање: две особе могу имати исто образовање, тада настаје везани ранг; као ефекат груписања (агрегације) вредности променљивих у неколико дисјунктних интервала, а затим додељивања једне вредности (центроид) свакој од њих – таква ситуација се дешава нпр. када се обрађују резултати анкета у којима су испитаници замољени да интервално одреде неку величину, као што је приход. Везани рангови тада настају на вештачки начин.

Током агрегације губи се информација о диференцијацији опсервација унутар сваког интервала, што чини да променљиве, које пре агрегације нису имале идентичне рангове, након агрегације могу имати исти редослед. Агрегација је обично поступак изнуђен условима истраживања, чији утицај на резултате треба да буде што мањи. Стога би био користан оценитељ који процењује корелацију рангова променљивих пре агрегације на основу података после агрегације. Такав оценитељ би достизао вредности само при узорку без везаних рангова.

Кендал предлаже да се у случају вештачки насталих везаних рангова у имениоцу користе варијансе као да везаних рангова нема (јер је тако у хипотетичкој бесконачној популацији за коју се корелација рангова процењује). На тај начин добијени оценитељ је очекивана вредност коефицијента корелације рангова израчунатог за исте променљиве пре агрегације (под претпоставком да је свака комбинација рангова која након агрегације води до уоченог узорка једнако вероватна).

Општи облик У општем случају, након узимања у обзир везаних рангова, варијанса рангова износи: