right|320px|thumbnail|Правилна плетеница на пет нити. Свака стрелица компонује два даља елемента . У математици, група плетеница на нити (означена са ), такође позната као Артинова група плетеница, јесте група чији су елементи класе еквиваленције -плетеница (нпр. под амбијенталном изотопијом), а чија је групна операција композиција плетеница (види Увод). Примери примене група плетеница укључују теорију чворова, где се сваки чвор може представити као затварање одређених плетеница (резултат познат као Александерова теорема); у математичкој физици где Артинова канонска презентација групе плетеница одговара Јанг—Бакстеровој једначини (види Основна својства); и у монодромским инваријантама алгебарске геометрије.
Увод У овом уводу нека је ; генерализација на друге вредности биће једноставна. Замислите два скупа од по четири предмета који леже на столу, при чему су предмети у сваком скупу распоређени у вертикалну линију, тако да један скуп стоји поред другог. (На доњим илустрацијама, то су црне тачке.) Користећи четири нити, сваки предмет првог скупа повезан је са предметом другог скупа тако да резултира обострано једнозначном кореспонденцијом (бијекцијом). Таква веза се назива плетеница. Често ће неке нити морати да прођу изнад или испод других, и то је кључно: следеће две везе су различите плетенице:
{| valign="centre"
| Плетеница сигма 1 на -1 | се разликује од Плетеница сигма 1
С друге стране, две такве везе које се могу учинити истим „повлачењем нити” сматрају се истом плетеницом:
{| valign="centre"
| Плетеница сигма 1 на -1 | је иста као Друга репрезентација сигма 1 на -1
Све нити морају да се крећу с лева на десно; чворови попут следећег не сматрају се плетеницама:
{| valign="centre"
| Није плетеница није плетеница
Било које две плетенице могу се компоновати цртањем прве поред друге, идентификовањем четири предмета у средини и повезивањем одговарајућих нити:
{| valign="centre"
| Датотека:braid s3.png | компоновано са | Датотека:braid s2.png | даје Датотека:braid s3s2.png
Други пример:
Датотека:braid s1 inv s3 inv.png компоновано са Датотека:braid s1 s3 inv.png даје Датотека:braid s3 inv squared.png Композиција плетеница и записује се као .
Скуп свих плетеница на четири нити означава се са . Горе наведена композиција плетеница је заиста групна операција. Неутрални елемент је плетеница која се састоји од четири паралелне хоризонталне нити, а инверз плетенице се састоји од оне плетенице која „поништава” све што је прва плетеница урадила, што се добија превртањем дијаграма (попут оних горе) преко вертикалне линије која пролази кроз његов центар. (Прва два примера плетеница изнад су међусобни инверзи.)
Примене Теорија плетеница је недавно примењена у механици флуида, посебно у области хаотичног мешања у токовима флуида. Плетење (2 + 1)-димензионалних просторно-временских трајекторија формираних кретањем физичких шипки, периодичних орбита или „духова шипки”, и скоро инваријантних скупова коришћено је за процену тополошке ентропије неколико инжењерских и природних флуидних система, путем употребе Нилсен—Турстонове класификације.
Још једна област интензивног истраживања која укључује групе плетеница и сродне тополошке концепте у контексту квантне физике је теорија и (претпостављена) експериментална имплементација предложених честица аниона. Они су предложени као основа за квантно рачунарство са корекцијом грешака, па је њихово апстрактно проучавање тренутно од фундаменталног значаја у квантној информатици.
Формални третман
Да би се горе наведена неформална дискусија о групама плетеница поставила на чврсте основе, потребно је користити концепт хомотопије из алгебарске топологије, дефинишући групе плетеница као фундаменталне групе конфигурационог простора. Алтернативно, група плетеница се може дефинисати чисто алгебарски путем релација плетеница, држећи слике на уму само као водич за интуицију.
Да бисмо објаснили како свести групу плетеница у Артиновом смислу на фундаменталну групу, разматрамо повезану многострукост димензије најмање 2. Симетрични производ копија означава количник , -струког Декартовог производа деловањем пермутације симетричне групе на нити која оперише над индексима координата. То јест, уређена -торка је у истој орбити као и било која друга која је њена преуређена верзија.
Пут у -струком симетричном производу је апстрактан начин разматрања тачака , посматраних као неуређена -торка, које независно исцртавају жица (нити). Пошто морамо захтевати да жице никада не пролазе једна кроз другу, неопходно је да пређемо на потпростор симетричног производа, орбита -торки различитих тачака. То јест, уклањамо све потпросторе дефинисане условима за све . Ово је инваријантно под симетричном групом, а је количник симетричном групом неискључених -торки. Под условом димензије, ће бити повезан.
Са овом дефиницијом, дакле, можемо назвати групу плетеница са жица фундаменталном групом (за било који избор базне тачке – ово је добро дефинисано до на изоморфизам). Случај где је Еуклидска раван је оригинални Артинов случај. У неким случајевима може се показати да су више хомотопске групе од тривијалне.
Затворене плетенице Када је X раван, плетеница се може затворити, тј. одговарајући крајеви се могу повезати у паровима, да би се формирала веза, тј. могуће испреплетена унија могуће зачворених петљи у три димензије. Број компоненти везе може бити било шта од 1 до n, у зависности од пермутације нити одређене везом. Теорема Џ. В. Александера показује да се свака веза може добити на овај начин као „затварање” плетенице. Упоредити са гудачким везама (string links).
Различите плетенице могу дати исту везу, баш као што различити дијаграми укрштања могу дати исти чвор. Године 1935. Андреј Марков мл. описао је два потеза на дијаграмима плетеница који дају еквиваленцију у одговарајућим затвореним плетеницама. Верзију Марковљеве теореме са једним потезом објавили су 1997. године.
Вон Џоунс је првобитно дефинисао свој полином као инваријанту плетенице, а затим показао да зависи само од класе затворене плетенице.
Марковљева теорема даје потребне и довољне услове под којима су затварања две плетенице еквивалентне везе.
Индекс плетенице „Индекс плетенице” је најмањи број жица потребних да се направи репрезентација затворене плетенице неке везе. Једнак је најмањем броју Зајфертових кругова у било којој пројекцији чвора.
Историја Групе плетеница експлицитно је увео Емил Артин 1925. године, иако су (као што је Вилхелм Магнус истакао 1974.) већ биле имплицитно присутне у раду Адолфа Хурвица о монодромији из 1891. године.
Групе плетеница се могу описати експлицитним презентацијама, као што је показао Артин 1947. године. Групе плетеница се такође разумеју кроз дубљу математичку интерпретацију: као фундаментална група одређених конфигурационих простора.
Као што Магнус каже, Хурвиц је дао интерпретацију групе плетеница као фундаменталне групе конфигурационог простора (уп. теорија плетеница), интерпретацију која је изгубљена из вида све док је нису поново открили Ралф Фокс и Ли Њувирт 1962. године.
Основна својства
Генератори и релације Размотримо следеће три плетенице:
Датотека:braid s1r.png Датотека:braid s2r.png Датотека:braid s3r.png
Свака плетеница у може се написати као композиција одређеног броја ових плетеница и њихових инверза. Другим речима, ове три плетенице генеришу групу . Да би се ово видело, произвољна плетеница се скенира с лева на десно ради укрштања. Нумерисањем нити почевши од врха, кад год се наиђе на укрштање нити и , записује се или , у зависности од тога да ли нит прелази преко или испод нити . По доласку до десног краја, плетеница је записана као производ и њихових инверза.
Јасно је да
(i) ,
док следеће две релације нису сасвим очигледне:
(iia) , (iib)
(ове релације се најбоље могу разумети цртањем плетенице на комаду папира). Може се показати да све друге релације међу плетеницама , и већ следе из ових релација и аксиома групе.
Генерализујући овај пример на нити, група се може апстрактно дефинисати путем следеће презентације:
где је у првој групи релација , а у другој групи релација . Ова презентација води до генерализација група плетеница названих Артинове групе. Кубне релације, познате као релације плетеница, играју важну улогу у теорији Јанг—Бакстерових једначина.
Даља својства Група плетеница је тривијална група, је бесконачна циклична група , а је изоморфна групи чвора трилиста – посебно, то је бесконачна неабелова група. -нитна група плетеница утапа се као подгрупа у -нитну групу плетеница додавањем додатне нити која не прелази преко ниједне од првих нити. Растућа унија група плетеница са свим је бесконачна група плетеница . Сви елементи који нису идентитет имају бесконачан ред; тј. је без торзије. Постоји лево-инваријантно линеарно уређење на названо Дехорнојево уређење. За , садржи подгрупу изоморфну слободној групи са два генератора. Постоји хомоморфизам дефинисан са . Тако се, на пример, плетеница слика у . Ово пресликавање одговара абелизацији групе плетеница. Пошто , онда је идентитет ако и само ако је . Ово доказује да генератори имају бесконачан ред.
Интеракције
Релација са симетричном групом и чистом групом плетеница Заборављањем како се нити увијају и укрштају, свака плетеница на нити одређује пермутацију на елемената. Ова додела је „на” (сурјективна) и компатибилна са композицијом, те стога постаје сурјективни хомоморфизам група из групе плетеница на симетричну групу. Слика плетенице σi ∈ је транспозиција . Ове транспозиције генеришу симетричну групу, задовољавају релације групе плетеница и имају ред 2. Ово трансформише Артинову презентацију групе плетеница у Коксетерову презентацију симетричне групе:
Језгро хомоморфизма је подгрупа од названа чиста група плетеница на нити и означена са . Ово се може видети као фундаментална група простора -торки различитих тачака Еуклидске равни. У чистој плетеници, почетак и крај сваке нити су у истој позицији. Чисте групе плетеница уклапају се у кратак егзактан низ:
Овај низ се цепа и стога су чисте групе плетеница реализоване као итерирани полудиректни производи слободних група.
Релација између B3 и модуларне групе thumb|376px| је универзална централна екстензија модуларне групе.
Група плетеница је универзална централна екстензија модуларне групе , при чему оне седе као решетке унутар (тополошке) универзалне покривајуће групе
.
Штавише, модуларна група има тривијалан центар, те је стога модуларна група изоморфна количничкој групи модуло њен центар, и еквивалентно, групи унутрашњих аутоморфизама .
Ево конструкције овог изоморфизма. Дефинишимо
.
Из релација плетеница следи да је . Означавајући овај последњи производ као , може се проверити из релација плетеница да
што имплицира да је у центру . Нека означава подгрупу од генерисану са , пошто , то је нормална подгрупа и може се узети количничка група . Тврдимо да ; овај изоморфизам се може дати у експлицитном облику. Косети и се сликају у
где су и стандардни леви и десни потези на Штерн—Брокотовом стаблу; добро је познато да ови потези генеришу модуларну групу.
Алтернативно, једна уобичајена презентација за модуларну групу је
где је
Пресликавање у и у даје сурјективни хомоморфизам група .
Центар од је једнак , што је последица чињеница да је у центру, модуларна група има тривијалан центар, а горе наведени сурјективни хомоморфизам има језгро .
Однос са групом класа пресликавања и класификација плетеница Група плетеница може се показати изоморфном групи класа пресликавања пробушеног диска са рупа. Ово се најлакше визуелизује замишљањем сваке рупе као повезане жицом са рубом диска; сваки хомоморфизам пресликавања који пермутује две рупе може се тада видети као хомотопија жица, то јест, плетење ових жица.
Путем ове интерпретације групе класа пресликавања, свака плетеница се може класификовати као периодична, редуцибилна или псеудо-Аносовљева.
Веза са теоријом чворова