Квантни Холов ефекат (или целобројни квантни Холов ефекат) је квантизована верзија Холовог ефекта која се посматра у дводимензионалним електронским системима изложеним ниским температурама и јаким магнетним пољима, у којима Холова отпорност показује кораке који попримају квантизоване вредности
где је Холов напон, је струја канала, је елементарни набој, а је Планкова константа. Делитељ може имати или целобројне () или фракционе () вредности. Овде је приближно, али не и тачно, једнако фактору попуне Ландауових нивоа. Квантни Холов ефекат се назива целобројним или фракционим у зависности од тога да ли је цео број или разломак.
Изразита карактеристика целобројног квантног Холовог ефекта је постојаност квантизације (тј. Холовог платоа) како се густина електрона мења. Пошто густина електрона остаје константна када је Фермијев ниво у чистом спектралном процепу, ова ситуација одговара оној где је Фермијев ниво енергија са коначном густином стања, иако су та стања локализована (видети Андерсонова локализација).
Фракциони квантни Холов ефекат је компликованији и још увек се сматра отвореним истраживачким проблемом. Његово постојање се суштински ослања на интеракције електрон-електрон. Године 1988, предложено је постојање квантног Холовог ефекта без Ландауових нивоа. Овај квантни Холов ефекат се назива квантни аномални Холов (QAH) ефекат. Постоји и нови концепт квантног спинског Холовог ефекта, који је аналоган квантном Холовом ефекту, где уместо струја наелектрисања теку спинске струје.
Примене Стандарди електричног отпора Квантизација Холове проводљивости () има важну особину да је изузетно прецизна. Утврђено је да су стварна мерења Холове проводљивости целобројни или фракциони вишекратници са прецизношћу бољом од једног дела у милијарди. Ово је омогућило дефинисање новог практичног стандарда за електрични отпор, заснованог на кванту отпора датом фон Клицинговом константом . Названа је по Клаусу фон Клицингу, откривачу тачне квантизације. Квантни Холов ефекат такође пружа изузетно прецизно независно одређивање константе фине структуре, величине од фундаменталног значаја у квантној електродинамици.
Године 1990, дефинисана је фиксна конвенционална вредност за употребу у калибрацијама отпора широм света. Касније, ревизијом СИ из 2019. утврђене су тачне вредности и , што је резултирало тачном вредношћу .
Статус истраживања Фракциони квантни Холов ефекат се сматра делом „тачне квантизације”. Тачна квантизација у пуној општости није у потпуности схваћена, али је објашњена као врло суптилна манифестација комбинације принципа гејџ инваријантности заједно са другом симетријом (видети Аномалије). Целобројни квантни Холов ефекат се, с друге стране, сматра решеним истраживачким проблемом и схваћен је у оквиру ТКНН формуле и Черн-Сајмонсових лагранжијана.
Фракциони квантни Холов ефекат се и даље сматра отвореним истраживачким проблемом. Фракциони квантни Холов ефекат се такође може разумети као целобројни квантни Холов ефекат, али не електрона, већ композита наелектрисања и флукса познатих као композитни фермиони. Постоје и други модели за објашњење фракционог квантног Холовог ефекта. Тренутно се сматра отвореним истраживачким проблемом јер не постоји јединствена, потврђена и усаглашена листа фракционих квантних бројева, нити један усаглашен модел који би их све објаснио, иако постоје такве тврдње у оквиру композитних фермиона и неабеловске Черн-Сајмонсове теорије.
Историја MOSFET (метал-оксид-полупроводнички транзистор са ефектом поља), који су изумели Мухамед Атала и Давон Канг у Беловим лабораторијама 1959. године, омогућио је физичарима да проучавају понашање електрона у готово идеалном дводимензионалном гасу. У MOSFET-у, проводни електрони путују у танком површинском слоју, а напон на „гејту” контролише број носилаца наелектрисања у овом слоју. Ово омогућава истраживачима да истражују квантне ефекте радећи са MOSFET-овима високе чистоће на температурама течног хелијума.
Целобројну квантизацију Холове проводљивости првобитно су предвидели истраживачи са Универзитета у Токију, Цунеја Андо, Јукио Мацумото и Јасутада Уемура 1975. године, на основу приближног прорачуна за који ни сами нису веровали да је тачан. Године 1978, истраживачи са Универзитета Гакушуин, Џун-ичи Вакабајаши и Шинџи Каваџи, касније су посматрали ефекат у експериментима спроведеним на инверзионом слоју MOSFET-ова.
Године 1980, Клаус фон Клицинг, радећи у лабораторији за јака магнетна поља у Греноблу са узорцима MOSFET-а на бази силицијума које су развили Мајкл Пепер и Герхард Дорда, дошао је до неочекиваног открића да је Холов отпор тачно квантизован. За ово откриће, фон Клицингу је додељена Нобелова награда за физику 1985. године. Везу између тачне квантизације и гејџ инваријантности касније је предложио Роберт Б. Лафлин, који је повезао квантизовану проводљивост са квантизованим транспортом наелектрисања у Таулесовој пумпи наелектрисања. Већина експеримената са целобројним квантним Холовим ефектом данас се изводи на галијум-арсенидским хетероструктурама, иако се могу користити и многи други полупроводнички материјали. Године 2007, целобројни квантни Холов ефекат је забележен у графену на температурама високим као што је собна температура, и у магнезијум-цинк-оксиду ZnO–MgxZn1−xO.
Целобројни квантни Холов ефекат мини|360x360px|Анимирани график који приказује попуњавање Ландауових нивоа како се B мења и одговарајући положај на графику Холовог коефицијента и магнетног поља|Илустративно. Нивои се шире са порастом поља. Између нивоа се види квантни Холов ефекат. DOS је густина стања. Међутим, треба имати на уму да ако се густина електрона, а не Фермијева енергија, држи константном, као у стварним експериментима, овај график постаје права линија. Постојање платоа не може се објаснити овим тривијалним моделом.
Ландауови нивои
У две димензије, када су класични електрони изложени магнетном пољу, они прате кружне циклотронске орбите. Када се систем третира квантно-механички, ове орбите су квантизоване. Да би се одредиле вредности енергетских нивоа, мора се решити Шредингерова једначина.
Пошто је систем изложен магнетном пољу, оно се мора увести као електромагнетни векторски потенцијал у Шредингерову једначину. Разматрани систем је електронски гас који се слободно креће у x и y правцима, али је чврсто ограничен у z правцу. Тада се примењује магнетно поље у z правцу и, према Ландауовом гејџу, електромагнетни векторски потенцијал је а скаларни потенцијал је . Тако, Шредингерова једначина за честицу наелектрисања и ефективне масе у овом систему је:
где је канонски импулс, који се замењује оператором , а је укупна енергија.
Да би се ова једначина решила, могуће ју је раздвојити на две једначине, пошто магнетно поље утиче само на кретање дуж x и y оса. Укупна енергија тада постаје збир два доприноса . Одговарајућа једначина за z осу је:
Да би се ствари поједноставиле, решење се сматра бесконачном потенцијалном јамом. Тако су решења за z правац енергије , а таласне функције су синусоидне. За и правце, решење Шредингерове једначине може се изабрати као производ равног таласа у -правцу са неком непознатом функцијом од , тј. . Ово је зато што векторски потенцијал не зависи од , те оператор импулса комутира са Хамилтонијаном. Заменом овог анзаца у Шредингерову једначину добија се једнодимензионална једначина хармонијског осцилатора центрирана на .
где је дефинисано као циклотронска фреквенција, а магнетна дужина. Енергије су: ,
А таласне функције за кретање у равни дате су производом равног таласа у и Хермитових полинома пригушених Гаусовом функцијом у , што су таласне функције хармонијског осцилатора.
Из израза за Ландауове нивое примећује се да енергија зависи само од , а не од . Стања са истим али различитим су дегенерисана.
Густина стања При нултом пољу, густина стања по јединици површине за дводимензионални електронски гас, узимајући у обзир дегенерацију услед спина, независна је од енергије . Када се поље укључи, густина стања се са константне вредности сажима у Дираков чешаљ, низ Диракових функција, што одговара Ландауовим нивоима раздвојеним са . На коначној температури, међутим, Ландауови нивои добијају ширину где је време између догађаја расејања. Уобичајено се претпоставља да је прецизан облик Ландауових нивоа Гаусов или Лоренцов профил.
Још једна карактеристика је да таласне функције формирају паралелне траке у -правцу, подједнако распоређене дуж -осе, дуж линија . Пошто не постоји ништа посебно у вези са било којим правцем у -равни, ако би векторски потенцијал био другачије изабран, требало би пронаћи кружну симетрију.
За узорак димензија и применом периодичних граничних услова у -правцу где је цео број, добија се да је сваки параболички потенцијал постављен на вредност . alt=|мини|270x270px|Параболички потенцијали дуж -осе центрирани на са првим таласним функцијама које одговарају бесконачној потенцијалној јами у правцу. У -правцу постоје путујући равни таласи. Број стања за сваки Ландауов ниво и може се израчунати из односа између укупног магнетног флукса који пролази кроз узорак и магнетног флукса који одговара једном стању.
Тако је густина стања по јединици површине .
Приметите зависност густине стања од магнетног поља. Што је магнетно поље јаче, то је више стања у сваком Ландауовом нивоу. Као последица, постоји већа confinement у систему, јер је мање енергетских нивоа попуњено.
Преписивањем последњег израза као јасно је да сваки Ландауов ниво садржи онолико стања колико и дводимензионални електронски гас у .
С обзиром на то да су електрони фермиони, сваком доступном стању у Ландауовим нивоима одговарају два електрона, по један електрон са сваком вредношћу за спин . Међутим, ако се примени јако магнетно поље, енергије се цепају на два нивоа због магнетног момента повезаног са поравнањем спина са магнетним пољем. Разлика у енергијама је где је фактор који зависи од материјала ( за слободне електроне) а је Боров магнетон. Знак се узима када је спин паралелан пољу, а када је антипаралелан. Ова чињеница, названа спинско цепање, имплицира да се густина стања за сваки ниво смањује за половину. Приметите да је пропорционално магнетном пољу, па што је магнетно поље јаче, то је цепање релевантније. alt=|мини|263x263px|Густина стања у магнетном пољу, занемарујући спинско цепање. (a) Стања у сваком опсегу су стиснута у -функцију Ландауовог нивоа. (b) Ландауови нивои имају ширину која није нула у реалнијој слици и преклапају се ако је . (c) Нивои постају различити када је .
Да би се добио број попуњених Ландауових нивоа, дефинише се фактор попуне као однос густине стања у 2D електронском гасу и густине стања у Ландауовим нивоима.
У општем случају, фактор попуне није цео број. Постаје цео број када постоји тачан број попуњених Ландауових нивоа. Уместо тога, постаје не-целобројан када највиши ниво није у потпуности попуњен. У стварним експериментима, варира се магнетно поље и фиксира густина електрона (а не Фермијева енергија!) или се варира густина електрона и фиксира магнетно поље. Оба случаја одговарају континуалној варијацији фактора попуне и не може се очекивати да буде цео број. Пошто је , повећањем магнетног поља, Ландауови нивои се померају навише у енергији и број стања у сваком нивоу расте, па мање електрона попуњава највиши ниво док не постане празан. Ако магнетно поље настави да расте, на крају ће сви електрони бити у најнижем Ландауовом нивоу () и то се назива магнетним квантним лимитом.
alt=|мини|265x265px|Попуњеност Ландауових нивоа у магнетном пољу, занемарујући спинско цепање, приказујући како се Фермијев ниво помера да би се одржала константна густина електрона. Поља су у односу и дају и .
Лонгитудинална отпорност