thumb|upright=1.2|alt=Поплочавање равни једнакостраничним троугловима|Регуларно троугаоно поплочавање равни, чије симетрије описује афина симетрична група Афине симетричне групе су фамилија математичких структура које описују симетрије бројевне праве и регуларног троугаоног поплочавања равни, као и сродних вишедимензионалних објеката. Поред овог геометријског описа, афине симетричне групе се могу дефинисати и на друге начине: као скупови пермутација (прераспоређивања) целих бројева () који су периодични у одређеном смислу, или у чисто алгебарским терминима као група са одређеним генераторима и релацијама. Проучавају се у областима комбинаторике и теорије репрезентације.
Коначна симетрична група састоји се од свих пермутација коначног скупа. Свака афина симетрична група је бесконачно проширење коначне симетричне групе. Многа важна комбинаторна својства коначних симетричних група могу се проширити и на одговарајуће афине симетричне групе. Статистике пермутација као што су спустови и инверзије могу се дефинисати и у афином случају. Као и у коначном случају, природне комбинаторне дефиниције ових статистика такође имају геометријску интерпретацију.
Афине симетричне групе имају блиске везе са другим математичким објектима, укључујући шеме жонглирања и одређене комплексне рефлексионе групе. Многа њихова комбинаторна и геометријска својства проширују се на ширу фамилију афиних Коксетерових група.
Дефиниције Афина симетрична група може се еквивалентно дефинисати као апстрактна група преко генератора и релација, или преко конкретних геометријских и комбинаторних модела.
Алгебарска дефиниција thumb|upright=1.2|alt=Први део слике означен је са „S̃ sub n за n > 2”. Састоји се од циклуса кружних чворова, означених са s sub 1, s sub 2, ..., s sub n - 1, и једног круга означеног са „s sub 0 = s sub n”. Суседни чворови у циклусу су повезани правим линијама, несуседни нису. Други део слике означен је са „S̃ sub 2”. Састоји се од два кружна чвора, означена са s sub 0 и s sub 1. Они су повезани правом линијом, која је означена са „бесконачно”.|Динкинови дијаграми за афине симетричне групе са 2 и више од 2 генератора Један од начина дефинисања група је преко генератора и релација. У оваквом типу дефиниције, генератори су подскуп елемената групе који, када се комбинују, производе све остале елементе. Релације у дефиницији су систем једначина које одређују када су две комбинације генератора једнаке. На овај начин, афина симетрична група генерисана је скупом
од елемената који задовољавају следеће релације: када је , (генератори су инволуције), ако није један од , што указује да је за ове парове генератора операција групе комутативна, и . У горенаведеним релацијама, индекси се узимају по модулу , тако да трећа релација укључује као посебан случај . (Друга и трећа релација се понекад називају релације плетенице.) Када је , афина симетрична група је бесконачна диедарска група генерисана са два елемента који подлежу само релацијама .
Ове релације се могу преписати у посебном облику који дефинише Коксетерове групе, тако да су афине симетричне групе Коксетерове групе, са као њиховим Коксетеровим генераторским скуповима. Свака Коксетерова група може бити представљена Коксетер—Динкиновим дијаграмом, у којем врхови одговарају генераторима, а ивице кодирају релације између њих. За , Коксетер—Динкинов дијаграм за је циклус дужине (где ивице одговарају релацијама између парова узастопних генератора, а одсуство ивице између других парова генератора указује да они комутирају), док се за састоји од два чвора спојена ивицом означеном са .
Геометријска дефиниција thumb|upright=1.2|alt=Раван подељена у једнакостраничне троуглове помоћу три скупа паралелних линија. Одређени пресеци линија (темена троуглова) су заокружени.|Када је , простор је дводимензионална раван, а рефлексије су у односу на линије. Тачке коренске решетке су заокружене. У Еуклидовом простору са координатама , скуп тачака за које важи формира хиперраван, -димензионални подпростор. За сваки пар различитих елемената и из и сваки цео број , скуп тачака у који задовољава формира -димензионални подпростор унутар , и постоји јединствена рефлексија простора која фиксира овај подпростор. Тада се афина симетрична група може геометријски реализовати као скуп пресликавања из у самог себе, који су композиције ових рефлексија.
Унутар , подскуп тачака са целобројним координатама формира коренску решетку, . То је скуп свих целобројних вектора таквих да је . Свака рефлексија очувава ову решетку, па је решетка очувана и од стране целе групе. Фиксни подпростори ових рефлексија деле на подударне симплексе, који се називају алкове. Ситуација за је приказана на слици; у овом случају, коренска решетка је троугаона решетка, рефлектујуће линије деле на једнакостраничне троугаоне алкове, а корени су центри не-преклапајућих шестоуглова сачињених од шест троугаоних алкова. thumb|upright=1.4|alt=Раван подељена у троуглове помоћу три скупа паралелних линија. Један троугао је осенчен; линије које чине његове ивице су подебљане и означене једначинама y - z = 0, x - y = 0, и x - z = 0.|Рефлексије и алкове за афину симетричну групу. Фундаментална алкова је осенчена. Да би се прешло са геометријске на алгебарску дефиницију, фиксира се једна алкова и посматрају се хиперравни које чине њену границу. Рефлексије кроз ове граничне хиперравни могу се поистоветити са Коксетеровим генераторима. Конкретно, постоји јединствена алкова (фундаментална алкова) која се састоји од тачака таквих да је , која је ограничена хиперравнима ..., и илустрована за случај . За , може се поистоветити рефлексија кроз са Коксетеровим генератором , а такође и рефлексија кроз са генератором .
Комбинаторна дефиниција Елементи афине симетричне групе могу се реализовати као група периодичних пермутација целих бројева. Конкретно, кажемо да је функција афина пермутација ако је бијекција (сваки цео број се појављује као вредност за тачно једно ), за све целе бројеве (функција је еквиваријантна у односу на померање за ), и , -ти троугаони број. За сваку афину пермутацију, и уопште за сваку бијекцију еквиваријантну у односу на померање, бројеви морају сви бити различити по модулу . Афина пермутација је јединствено одређена својом прозорском нотацијом , јер се све остале вредности могу добити померањем ових вредности. Стога се афине пермутације могу поистоветити са n-торкама целих бројева које садрже по један елемент из сваке класе конгруенције по модулу и чији је збир .
Да би се прешло са комбинаторне на алгебарску дефиницију, за може се поистоветити Коксетеров генератор са афином пермутацијом која има прозорску нотацију , а такође и генератор са афином пермутацијом . Уопштено, свака рефлексија (тј. коњугат једног од Коксетерових генератора) може се јединствено описати на следећи начин: за различите целе бројеве , у и произвољан цео број , она пресликава у , пресликава у , и фиксира све улазе који нису конгруентни са или по модулу .
Представљање матрицама thumb|alt=Нацртана је мрежа. Колоне су означене са „..., -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...” слева надесно, а редови су означени са „..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...” одозго надоле. Повучене су дебеле линије између колона 0 и 1, колона 3 и 4, редова 0 и 1, и редова 3 и 4. Ћелије у паровима ред-колона (-2, -1), (0, 1), (1, 2), (2, 0), (3, 4), (4, 5), и (5, 3) означене су испуњеним кругом. |Матрично представљање афине пермутације [2, 0, 4], са конвенцијом да се 1 замењује са •, а 0 изоставља. Приказане су ознаке редова и колона. Афине пермутације могу се представити као бесконачне периодичне пермутационе матрице. Ако је афина пермутација, одговарајућа матрица има вредност 1 на позицији у бесконачној мрежи за сваки цео број , а сви остали елементи су једнаки 0. Пошто је бијекција, резултујућа матрица садржи тачно једну јединицу у сваком реду и свакој колони. Услов периодичности за пресликавање осигурава да је елемент на позицији једнак елементу на позицији за сваки пар целих бројева . На пример, део матрице за афину пермутацију приказан је на слици. У реду 1, постоји 1 у колони 2; у реду 2, постоји 1 у колони 0; и у реду 3, постоји 1 у колони 4. Остали елементи у тим редовима и колонама су сви 0, а сви остали елементи у матрици су фиксирани условом периодичности.
Однос са коначном симетричном групом Афина симетрична група садржи коначну симетричну групу пермутација над елемената и као подгрупу и као количничку групу. Ове везе омогућавају директан превод између комбинаторних и геометријских дефиниција афине симетричне групе.
Као подгрупа Постоји канонски начин да се изабере подгрупа која је изоморфна коначној симетричној групи . У терминима алгебарске дефиниције, ово је подгрупа генерисана са (искључујући просту рефлексију ). Геометријски, ово одговара подгрупи трансформација које фиксирају координатни почетак, док комбинаторно одговара прозорским нотацијама за које је (тј. у којима је прозорска нотација линијска нотација коначне пермутације).
Ако је прозорска нотација елемента ове стандардне копије , њено дејство на хиперраван у дато је пермутацијом координата: . (У овом чланку, геометријско дејство пермутација и афиних пермутација је са десне стране; стога, ако су и две афине пермутације, дејство на тачку се добија тако што се прво примени , а затим .)
Такође постоје многе нестандардне копије садржане у . Геометријска конструкција је да се изабере било која тачка у (тј. целобројни вектор чије координате имају збир 0); подгрупа групе која се састоји од изометрија које фиксирају је изоморфна са .
Као количник
Постоји једноставно пресликавање (технички, сујективни хомоморфизам група) из на коначну симетричну групу . У терминима комбинаторне дефиниције, афина пермутација се може пресликати у пермутацију редуковањем елемената прозора по модулу на елементе из , што оставља линијску нотацију пермутације. У овом чланку, слика афине пермутације назива се основна пермутација од .
Пресликавање шаље Коксетеров генератор у пермутацију чија су линијска нотација и циклична нотација и , респективно.
Језгро пресликавања је по дефиницији скуп афиних пермутација чија је основна пермутација идентитет. Прозорске нотације таквих афиних пермутација су облика , где је целобројни вектор такав да је , тј. где је . Геометријски, ово језгро се састоји од транслација, изометрија које померају цео простор без ротације или рефлексије. Уз злоупотребу нотације, симбол се у овом чланку користи за сва три ова скупа (целобројне векторе у , афине пермутације са основном пермутацијом идентитета и транслације); у сва три контекста, природна операција групе претвара у абелову групу, слободно генерисану са вектора .
Веза између геометријске и комбинаторне дефиниције thumb|upright=1.2|alt=Раван је подељена на једнакостраничне троуглове помоћу три скупа паралелних линија. Сваки троугао је означен тројком бројева. Један троугао, означен са [1, 2, 3], је осенчен. Једно од његових темена је координатни почетак. Осталих пет троуглова који деле ово теме означени су (у смеру казаљке на сату) са [2, 1, 3], [3, 1, 2], [3, 2, 1], [2, 3, 1], и [1, 3, 2]. Трећи троугао суседан са [2, 1, 3] је означен са [2, 0, 4]. |Алкове за означене афиним пермутацијама. Алкова је означена прозорском нотацијом за пермутацију ако пресликава фундаменталну алкову (осенчену) у . Негативни бројеви су означени надцртом.
Афина симетрична група има као нормалну подгрупу и изоморфна је полудиректном производу
ове подгрупе са коначном симетричном групом , где дејство на представља пермутација координата. Сходно томе, сваки елемент из има јединствену реализацију као производ где је пермутација у стандардној копији унутар , а је транслација у . Овај приступ омогућава директан превод између комбинаторних и геометријских дефиниција : ако напишемо где је и , тада афина пермутација одговара крутом кретању простора дефинисаном са