Многи математички проблеми су постављени, али још увек нису решени. Ови проблеми долазе из многих области математике, као што су теоријска физика, рачунарство, алгебра, анализа, комбинаторика, алгебарска, диференцијална, дискретна и еуклидска геометрија, теорија графова, теорија група, теорија модела, теорија бројева, теорија скупова, Ремзијева теорија, динамички системи и парцијалне диференцијалне једначине. Неки проблеми припадају више од једној дисциплини и проучавају се коришћењем техника из различитих области. Награде се често додељују за решење дугогодишњег проблема, а неки спискови нерешених проблема, као што су Миленијумски проблеми, добијају значајну пажњу.
Овај списак је скуп значајних нерешених проблема поменутих у претходно објављеним листама, укључујући, али не ограничавајући се на листе које се сматрају ауторитативним, а проблеми наведени овде се значајно разликују и по тежини и по важности.
Спискови нерешених проблема у математици Различити математичари и организације објављивали су и промовисали спискове нерешених математичких проблема. У неким случајевима, спискови су били повезани са наградама за проналазаче решења. Списак Бројпроблема Број нерешенихили непотпуно решених Предложио/ла Годинапредлога Хилбертови проблеми 23 15 Давид Хилберт 1900. Ландауови проблеми. 4 4 Едмунд Ландау 1912. Танијамини проблеми 36 – Јутака Танијама 1955. Терстонових 24 питања 24 2 Вилијам Терстон 1982. Смејлови проблеми 18 14 Стивен Смејл 1998. Миленијумски проблеми 7 6 Математички институт Клеј 2000. Сајмонови проблеми 15 < 12 Бери Сајмон 2000. Нерешени проблеми у математици за 21. век 22 – Жаир Миноро Абе, Шотаро Танака 2001. Математички изазови агенције DARPA 23 – DARPA 2007. Ердешеви проблеми > 934 617 Пал Ердеш Током шест деценија Ердешеве каријере, од 1930-их до 1990-их thumb|250px|Риманова зета-функција, предмет Риманове хипотезе
Миленијумски проблеми Од првобитних седам Миленијумских проблема које је Математички институт Клеј поставио 2000. године, шест је до данас остало нерешено:
Бирчова и Свинертон-Дајерова хипотеза Хоџова хипотеза Постојање и глаткост Навије-Стоксових једначина P наспрам NP проблем Риманова хипотеза Јанг-Милсова егзистенција и масени процеп
Седми проблем, Поенкареова хипотеза, решио је Григориј Перелман 2003. године. Међутим, генерализација названа глатка четвородимензионална Поенкареова хипотеза — то јест, да ли четвородимензионална тополошка сфера може имати две или више нееквивалентних глатких структура — је нерешена.
Свеске Коуровска свеска () је збирка нерешених проблема у теорији група, први пут објављена 1965. године и од тада много пута ажурирана. Свердловска свеска () је збирка нерешених проблема у теорији полугрупа, први пут објављена 1965. године и ажурирана сваке 2 до 4 године од тада. Дњестарска свеска () наводи неколико стотина нерешених проблема у алгебри, посебно у теорији прстенова и теорији модула. Ерлаголска свеска () наводи нерешене проблеме у алгебри и теорији модела.
Нерешени проблеми
Алгебра
thumb|У представљању кјубита на Блоховој сфери, SIC-POVM формира правилни тетраедар. Цаунер је претпоставио да аналогне структуре постоје у комплексним Хилбертовим просторима свих коначних димензија. Бирч-Тејтова хипотеза о вези између реда центра Штајнбергове групе прстена целих бројева поља бројева и Дедекиндове зета-функције поља. Бомбијери-Лангова хипотеза о густинама рационалних тачака алгебарских површи и алгебарских варијетета дефинисаних на пољима алгебарских бројева и њиховим проширењима. Конова хипотеза уградње у теорији фон Нојманових алгебри. Крузеова хипотеза: матрична норма комплексне функције примењене на комплексну матрицу је највише два пута већа од супремума од над пољем вредности од . Детерминантна хипотеза о детерминанти збира две нормалне матрице. Ајленберг-Ганеова хипотеза: група са кохомолошком димензијом 2 такође има дводимензионални Ајленберг-Маклејнов простор . Фарел-Џоунсова хипотеза о томе да ли су одређена пресликавања склапања изоморфизми. Бостова хипотеза: специфичан случај Фарел-Џоунсове хипотезе. Проблем репрезентације коначне решетке: да ли је свака коначна решетка изоморфна конгруентној решетки неке коначне универзалне алгебре? Гончаровљева хипотеза о кохомологији одређених мотивских комплекса. Гринова хипотеза: Клифордов индекс не-хиперелиптичке криве одређен је степеном до којег она, као канонска крива, има линеарне сизигије. Гротендик-Кацова p-кривинска хипотеза: претпостављени локално-глобални принцип за линеарне обичне диференцијалне једначине. Хадамарова хипотеза: за сваки позитиван цео број , постоји Хадамарова матрица реда . Вилијамсонова хипотеза: проблем проналажења Вилијамсонових матрица, које се могу користити за конструкцију Хадамарових матрица. Хадамаров проблем максималне детерминанте: која је највећа детерминанта матрице чији су елементи сви једнаки 1 или -1? Хилбертов петнаести проблем: поставити Шубертов рачун на ригорозне темеље. Хилбертов шеснаести проблем: које су могуће конфигурације повезаних компоненти М-кривих? Хомолошке хипотезе у комутативној алгебри Џејкобсонова хипотеза: пресек свих степена Џејкобсоновог радикала левог и десног Нетериног прстена је тачно 0. Капланскијеве хипотезе Кетеова хипотеза: ако прстен нема нил идеал осим , онда нема ни нил једнострани идеал осим . Мономијална хипотеза о Нетериним локалним прстенима. Постојање савршених квадара и повезане хипотезе о квадрима. Пирс-Биркофова хипотеза: свака комадно-полиномијална функција је максимум коначног скупа минимума коначних колекција полинома. Ротина хипотеза о бази: за матроиде ранга са дисјунктних база , могуће је креирати матрицу чији су редови и чије су колоне такође базе. Серова хипотеза II (алгебра): ако је просто повезана полупроста алгебарска група над савршеним пољем кохомолошке димензије највише , онда је скуп Галоаове кохомологије једнак нули. Серова хипотеза о позитивности да ако је комутативни регуларни локални прстен, и су прости идеали од , онда имплицира . Хипотеза о униформној ограничености за рационалне тачке: да ли алгебарске криве рода над пољима бројева имају највише неки ограничен број -рационалних тачака? Дивљи проблеми: проблеми који укључују класификацију парова матрица под симултаном конјугацијом. Зариски-Липманова хипотеза: за комплексни алгебарски варијетет са координатним прстеном , ако су деривације од слободан модул над , онда је гладак. Цаунерова хипотеза: да ли SIC-POVM постоје у свим димензијама? Цилбер-Пинкова хипотеза да ако је мешовити Шимурин варијетет или полуабелов варијетет дефинисан над , и је подваријетет, онда садржи само коначно много атипичних подваријетета. Теорија група
thumb|Слободна Бернсајдова група је коначна; у њеном Кејлијевом графу, приказаном овде, сваки од њених 27 елемената представљен је теменом. Питање које друге групе су коначне остаје отворено. Ендруз-Кертисова хипотеза: свака балансирана презентација тривијалне групе може се трансформисати у тривијалну презентацију низом Нилсенових трансформација на релаторима и конјугацијама релатора. Ограничени Бернсајдов проблем: за које позитивне целе бројеве m, n је слободна Бернсајдова група коначна? Конкретно, да ли је коначна? Гуралик-Томпсонова хипотеза о композиционим факторима група у системима рода 0. Херцог-Шенхајмова хипотеза: ако коначан систем левих косета подгрупа групе формира партицију од , онда коначни индекси наведених подгрупа не могу бити различити. Инверзни Галоаов проблем: да ли је свака коначна група Галоаова група неког Галоаовог проширења рационалних бројева? Проблем изоморфизма Коксетерових група Да ли постоји бесконачан број Леинстер група? Да ли генерализовани муншајн постоји? Да ли је свака коначно презентована периодична група коначна? Да ли је свака група сурјунктивна? Да ли је свака дискретна, пребројива група софична? Проблеми у теорији петљи и квазигрупа разматрају генерализације група.
Теорија репрезентација Артурове хипотезе Дејдова хипотеза која повезује бројеве карактера блокова коначне групе са бројевима карактера блокова локалних подгрупа. Демазурова хипотеза о репрезентацијама алгебарских група над целим бројевима. Каждан-Лустигове хипотезе које повезују вредности Каждан-Лустигових полинома у тачки 1 са репрезентацијама комплексних полупростих Лијевих група и Лијевих алгебри. Макејова хипотеза: у групи , број иредуцибилних комплексних карактера степена који није дељив простим бројем једнак је броју иредуцибилних комплексних карактера нормализатора било које Силовљеве -подгрупе унутар .
Анализа
Бренанова хипотеза: процена интеграла степена модула деривата конформних пресликавања у отворени јединични диск, на одређеним подскуповима од . Фугледеова хипотеза о томе да ли су неконвексни скупови у и спектрални ако и само ако поплочавају транслацијом. Гудманова хипотеза о коефицијентима вишевалентних функција. Проблем инваријантног подпростора – да ли сваки ограничени оператор на комплексном Банаховом простору пресликава неки нетривијални затворен подпростор у самог себе? Кунг-Траубова хипотеза о оптималном реду мултипоинт итерације без меморије. Лемерова хипотеза о Малеровој мери нециклотомских полинома. Проблем средње вредности: дато је комплексни полином степена и комплексни број , да ли постоји критична тачка од таква да је ? Помпејуов проблем о топологији домена за које нека ненулта функција има интеграле који нестају над сваком конгруентном копијом. Сендовљева хипотеза: ако комплексни полином степена најмање има све корене у затвореном јединичном диску, онда је сваки корен на растојању од неке критичне тачке. Витушкинова хипотеза о компактним подскуповима од са аналитичким капацитетом . Која је тачна вредност Ландауових константи, укључујући Блохову константу? Регуларност решења Ојлерових једначина. Конвергенција Флинт Хилс серије. Регуларност решења Власов-Максвелових једначина. Комбинаторика
1/3–2/3 хипотеза – да ли сваки коначни делимично уређен скуп који није тотално уређен садржи два елемента x и y таква да је вероватноћа да се x појави пре y у случајном линеарном проширењу између 1/3 и 2/3?. Дитертова хипотеза која се односи на максимум постигнут одређеном функцијом матрица са реалним, ненегативним уносима који задовољавају услов сумације. Проблеми у латинским квадратима – отворена питања у вези са латинским квадратима. Хипотеза о усамљеном тркачу – ако тркача са међусобно различитим брзинама трчи око стазе дужине један, да ли ће сваки тркач бити "усамљен" (тј. на удаљености од најмање од сваког другог тркача) у неком тренутку? Савијање мапа – различити проблеми у савијању мапа и марака. Проблем "нема три у линији" – колико тачака се може поставити на мрежу тако да ниједне три од њих не леже на истој правој? Рудинова хипотеза о броју квадрата у коначним аритметичким прогресијама. Хипотеза о сунцокрету – да ли се број скупова величине потребан за постојање сунцокрета од скупова може ограничити експоненцијалном функцијом у за свако фиксно ? Франклова хипотеза о унијом-затвореним скуповима – за сваку фамилију скупова затворених под унијом постоји елемент (из основног простора) који припада половини или више скупова. Дати комбинаторну интерпретацију Кронекерових коефицијената. Вредности Дедекиндових бројева за . Вредности Ремзијевих бројева, посебно . Вредности Ван дер Верденових бројева. Проналажење функције за моделирање самоизбегавајућих шетњи од n-корака.
Динамички системи
thumb|Детаљ Манделбротовог скупа. Није познато да ли је Манделбротов скуп локално повезан или не. Арнолд-Гивенталова хипотеза и Арнолдова хипотеза – повезивање симплектичке геометрије са Морзеовом теоријом. Бери-Таборова хипотеза у квантном хаосу. Проблем Стефана Банаха – да ли постоји ергодички систем са простим Лебеговим спектром?S. M. Ulam, Problems in Modern Mathematics. Science Editions John Wiley & Sons, Inc., New York, 1964, page 76. Хипотеза Џорџа Дејвида Биркофа – ако је билијарски сто строго конвексан и интеграбилан, да ли је његова граница нужно елипса?