У математици, Парсевалова теорема Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants" presented before the Académie des Sciences (Paris) on 5 April 1799. This article was published in Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savants étrangers.), vol. 1, pages 638–648 (1806). обично се односи на резултат да је Фуријеова трансформација унитарна ; односно, да је сума (или интеграл) квадрата функције једнака збиру (или интегралу) квадрата његове трансформације. Она потиче из теореме из 1799. године о серијама Марка-Антоана Парсевала, која је касније примењена на Фуријеов ред . Позната је и као Рајлехова енергетска теорема, или Рајлехов идентитет, након Џона Вилијама Страта, лорда Рајлеха. Rayleigh, J.W.S. (1889) "On the character of the complete radiation at a given temperature," Philosophical Magazine, vol. 27, pages 460–469. Available on-line here.
Иако се термин „Парсевалова теорема“ често користи за описивање унитарности било које Фуријеове трансформације, посебно у физици, најчешћи облик овог својства се правилније назива Планшерелова теорема . Plancherel, Michel (1910) "Contribution à l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298–335.
Доказ Парсевалове теореме Претпоставимо да су и две квадратне интеграбилне (у погледу Лебегове мере), функције сложене вредности на периоде са Фуријеовим редом
и
респективно. Онда где је имагинарна јединица, а хоризонталне цртице означавају сложену конјугацију .
Више уопштено, дата као абелова локална компактна група G са дуалношћу по Понтрагјину G^, Парсевалова теорема каже да Понтрагјин-Фуријеова трансформација јесте унитарни оператер између Хилбертових простора L2 (G) и L2 (G^) (с интеграција је против одговарајуће умањене Харове мере на две групе.) Када је G јединични круг Т, G^ су цели бројеви и то је случај који је горе разматран. Када је G права линија , G^ је такође а унитарна трансформација је Фуријеова трансформација на стварној линији. Када је G циклична група Zn, поново је самодуална, а Понтрагјин-Фоуријева трансформација је оно што се у примењеним контекстима назива дискретном Фуријевом трансформацијом .
Парсевалова теорема се такође може изразити на следећи начин: Претпоставимо да је квадратна интеграбилна функција (тј. и су интегрисани на том интервалу), са Фуријеовим редом
Тада
Нотација коришћена у физици У физици и инжењерству, Парсевалова теорема се често пише као:
где представља континуирану Фуријеову трансформацију (у нормализованом, унитарном облику) од , а је фреквенција у радијанима у секунди.
Тумачење овог облика теореме је да се укупна енергија сигнала може израчунати сабирањем снаге по узорку током времена или спектралне снаге по фреквенцији.
За дискретне временске сигнале, теорема постаје:
где јесте дискретна Фуријеова трансформација (ДТФТ) од и представља угаону фреквенцију (у радијанима по узорку) од .
Алтернативно, за дискретну Фуријеову трансформацију (ДФТ), однос постаје:
где јесте ДФТ од , обе дужине .
Види још Парсевалова теорема уско је повезана са осталим математичким резултатима који укључују унитарне трансформације:
Парсевалов идентитет Планшерелова теорема Теорема Вајнер – Хинчин Беселова неједнакост
Напомене
Референце
Парсевал, МацТутор архива историје математике . Георге Б. Арфкен и Ханс Ј. Вебер, Математичке методе за физичаре (Харцоурт: Сан Диего, 2001). Хуберт Кеннеди, Осам математичких биографија (Перемптори Публицатионс: Сан Францисцо, 2002). Алан В. Оппенхеим и Роналд В. Сцхафер, 2. издање дискретне обраде сигнала (Прентице Халл: Уппер Саддле Ривер, Њ, 1999) стр. 60. Виллиам МцЦ. Сиеберт, Цирцуитс, Сигналс, анд Системс (МИТ Пресс: Цамбридге, МА, 1986), стр. 410–411. Давид В. Каммлер, Први курс у Фоуриеровој анализи (Прентице-Халл, Инц., Река Горње седло, Њ, 2000) стр. 74.
Спољашње везе
Парсевалова теорема на МетВорлд
Категорија:Странице са непрегледаним преводима Категорија:Дигитална обрада сигнала