У физици и математици, Гринова теорема даје однос између криволинијског интеграла око просте затворене криве -{C}- и двоструког интеграла над области -{D}- ограниченом са -{C}-. То је специјални дводимензионални случај општије Стоксове теореме, а добила је име по британском научнику Џорџу Грину.

Нека је -{C}- позитивно оријентисана, део по део глатка, проста затворена крива у равни и нека је -{D}- област огранична кривом -{C}-. Ако -{L}- и -{M}- имају непрекидне парцијалне изводе на отвореној области која садржи -{D}-, онда

Некада се црта кружић на симболу за интеграл () да се означи да је крива -{C}- затворена (тада се интеграл назива циркулацијом). За позитивну оријентацију, на овом кругу се може нацртати стрелица у смеру супротном смеру казаљке на сату.

Доказ када је -{D}- проста област мини|десно|300п|Ако је -{D}- проста област чије се границе састоје од кривих -{C1, C2, C3, C4}-, може се демонстрирати Гринова теорема. Следи доказ теореме за поједностављену област -{D}-, област типа -{I}- где су -{C2}- и -{C4}- вертикалне линије. Сличан доказ постоји када је -{D}- област типа -{II}-, где су -{C1}- и -{C3}- праве линије.

Ако се може показати да су искази

и

тачни, онда се може доказати Гринова теорема у првом случају.

Област типа -{I}-, -{D}- на слици десно, дефинисана са:

где су -{g1}- и -{g2}- непрекидне функције. Израчунајмо двоструки интеграл из (1):

-{C}- се може записати као унија четири криве: -{C1, C2, C3, C4}-.

Код -{C1}-, користимо параметарске једначине: -{x = x, y = g1(x), a ≤ x ≤ b}-. Тада

Код -{C3}-, користимо параметарске једначине: -{x = x, y = g2(x), a ≤ x ≤ b}-. Тада

Интеграл над -{C3}- се негира, јер иде у негативном правцу од -{b}- до -{a}-, јер је -{C}- оријентисана позитивно (у смеру супротном смеру казаљке на сату). На -{C2}- и -{C4}-, -{x}- остаје константно, што значи да

Стога,

Комбиновањем (3) са (4), добијамо (1). На сличан начин добијамо (2).

Види још Стоксова теорема Криволинијски интеграл

Спољашње везе

-{Mathworld}- Флеш демонстрација Гринове теореме

Категорија:Математичке теореме Категорија:Анализа више променљивих