Фуријеова оптика обухвата области оптике у којима се примењује математички поступак заснован на Фуријеовом принципу да се произвољна математичка функција у просторном или временском домену, може изразити као збир синусоидних функција различитих учесталости, распона и фаза.
Најзначајнија је примена овог поступка у области физичке, или таласне оптике, где се помоћу ње одређују својства светлосног поља по проласку кроз отвор - тзв. дифракција светлости. Надовезујући се на темеље физичке оптике - Максвелове једначине и теорију електромагнетног поља - Фуријеова оптика спада међу најзначајније делове теорије физичке оптике.
Као основно средство теоријске обраде дифракције светлости, Фуријеов поступак је непосредно везан за изражавање основног дела оптичке слике, функције ширења тачке, која је сразмерна квадрату Фуријеове трансформације функције оптичког отвора. Такође, основно мерило каквоће оптичке слике, функција оптичког преноса, је Фуријеова трансформација функције ширења тачке.
Назив Фуријеова трансформација се користи како за математичку функцију која је изражава, тако и за саму физичку појаву изражену енергијом светлосног поља у Фуријеовој равни, и описану овом функцијом. Ова дифракциона слика енергије светлосног поља описана је Фуријеовом серијом у случају периодичне функције. У случају апериодичне функције, тј. издвојеног сигнала, распоред енергије у Фуријеовој равни описан је Фуријеовом трансформацијом функције која представља овај сигнал, дакле непрекидном функцијом која описује распоред учесталости бесконачно много синусоидних функција и њихових распона чији збир производи функцију датог облика.
У области дигиталне слике, Фуријеов поступак се користи за обраду и побољшање дигиталне слике коришћењем њене Фуријеове трансформације, тзв. Фуријеове слике. Ова трансформација се обично добија поступком који се зове одвојена Фуријеова трансформација (, скраћено DFT).
Историја
Зачетник теорије Фуријеових трансформација, које су по њему добиле има, је француски физичар Жон-Батист Жозеф Форје. Он је 1822. године у свом делу "Аналитичка теорија топлоте" (Théorie analytique de la chaleur) први изнео да математичка функција произвољног облика може да се произведе збиром синусоидних функција растућих учесталости и опадајућих распона (изговор имена Fourier на француском је између Фоје и Форје, али је на српском говорном подручју устаљено да се наводи као Фурије) .
Фуријеове трансформације у оптику уводи, током Другог светског рата, француски физичар Дуфие (Pierre-Michel Duffieux, 1891–1976). У ширу употребу овај научни поступак улази после његовог представљања и обраде у камену темељцу модерне физичке оптике, књизи "Принципи оптике" Макса Борна и Емила Волфа (Principles of optics, Born and Wolf), 1959. године.
Примена
У оптици, Фуријеова трансформација има посебан значај, јер описује промену електромагнетног поља услед дифракције светлости после пролаза кроз отвор. Одређеније, распоред распона таласног поља произведен међудејством таласа услед дифракције је сразмеран Фуријеовој трансформацији распореда распона поља у отвору.
Другим речима, функција ширења распона електромагнетног (светлосног) таласа, чији квадрат даје функцију ширења тачке, тј. распоред енергије у физичкој слици тачке, је сразмерна Фуријеовој трансформацији функције оптичког отвора, која описује распоред распона поља отвора (слика 6).
Пошто особине физичке слике тачке непосредно одређују ниво каквоће оптичке слике, Фуријеова трансформација је уграђена у саме основаме физичке (таласне) оптичке теорије и њене практичне примене.
Такође, једно од основних средстава за процену каквоће оптичке слике, функција оптичког преноса, је Фуријеова трансформација функције ширења тачке за некохерентну светлост, и обрнута Фуријеова трансформација функције ширења распона за кохерентну светлост.
Кохерентна и некохерентна светлост
thumb|СЛИКА 1: ФУРИЈЕОВЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ НЕКОХЕРЕНТНЕ СВЕТЛОСТИ Слике десно показују међусобну повезаност ових основних појмова физичке оптике, и улогу Фуријеовог поступка у њиховом добијању. У случају како кохерентне, тако и некохерентне светлости, стварање физичке оптичке слике је изведено из Фуријеове трансформације функције (оптичког) отвора. Такође, однос Фуријеовог пара постоји између чинилаца стварања физичке оптичке слике у просторном домену, са једне, и у домену учесталости са друге стране.
thumb|СЛИКА 2: ФУРИЈЕОВЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ КОХЕРЕНТНЕ СВЕТЛОСТИ По теорији конволуције, Фуријеова трансформација слике настале конволуцијом две функције једнака је производу Фуријеових трансформација ових функција. То значи да је функција преноса Фуријеова трансформација чиниоца конволуције, који представља функција ширења распона у случају кохерентне, и функција ширења тачке у случају некохерентне светлости (у случају да предмет има синусоидан распоред таласног распона, одговарајућиа лепеза учесталости садржи само ту основну учесталост, и слика распореда распона је иста као распоред распона у предмету, као што показује слика 9; у случају кад је распред распона предмета описан функцијом квадратног таласа, распоред распона слике је описан синусоидном функцијом ако је пречник објектива сувисе мали да обухвати више учесталости).
У области дигиталне слике, Фуријеов поступак се користи за анализу и побољшање својстава слике кроз промену својстава њене Фуријеове трансформације.
Фуријеов поступак, општи оквир
У изворном облику, Фуријеова теорема каже да произвољна функција ƒ(x) са просторним периодом λ може да се представи као збир синусоида чије су таласне дужине (тј. просторни периоди) дате производом са бројем који се, почевши од λ, смањује у складу са повећањем дељеника за цео број (тј. ако је почетни период λ, таласне дужине синусоида су λ, λ/2, λ/3, итд.), док се одговарајући распони ових синусоида такође смањују у истој сразмери. Облици Фуријеовог поступка који се користе данас су сложенији, али општи принцип да се учесталост и распон Фуријеових синусоида смањују у истој размери и даље важи.
Модерна дефиниција је општијег карактера, и каже да се, у начелу, математичка функција ƒ(x) произвољног облика, дата у просторном или временском домену - тј. са променљивом која се мења у простору или времену, у односу на x дато у просторним или временским јединицама - може произвести сабирањем низа синусоидних функција опадајућих распона и учесталости. Ако се овај низ синусоидних функција представи као посебна функција, у којој је учесталост v сваког од ових синусоида дата на водоравној скали, и са одговарајућим распонима за сваку учесталост датим на усправној скали, добија се функција F(ν) у домену учесталости, која описује распоред учесталости ових синусоида и њихов распон.
Другим речима, применом Фуријеовог поступка на функцију ƒ(x) дату у временском или просторном домену, добија се функција F(ν) у домену учесталости. Два основна резултата Фуријеовог поступка, у погледу облика функције у домену учесталости - која се може назвати Фуријеова функција - су Фуријеов низ, у случају функција у којима је размак између периодичних промена коначан, и Фуријеова трансформација, у случају функција у којима је размак до следеће промене бесконачан, тј. које описују само једну промену.
Функција домена учесталости F(ν) и одговарајућа функција у просторном или временском домену ƒ(x), чине Фуријеов пар, тј. F(ν)=ƒ(x), где је F(ν) функција учесталости ν, означава Фуријеову трансформацију, и ƒ(x) функцију променљиве x у просторном или временском домену. Функција ƒ(x) је обрнута Фуријеова трансформација функције F(ν) , тј. ƒ(x)=-1F(ν).
Фуријеов низ
Фуријеов низ је математичка функција F(ν) која описује учесталости и распоне низа синусоидних функција, чији збир производи функцију ƒ(x) дату у просторном или временском домену. Или, обрнуто, која описује растављање функције дате у просторном или временском домену на низ синусоидних функција чији збир производи ту функцију. Графички приказ распореда ових учесталости и њихових распона зове се лепеза, или спектрум учесталости ().
Фуријеов низ може да се представи на два начина: као тригонометријски Фуријеов низ, који садржи тригонометријске функције синуса и/или косинуса, и као експоненцијални Фуријеов низ, изражен као комплексна функција, која користи имагинарни број i.
Фуријеов тригонометријски низ
У општем облику, Фуријеов тригонометријски низ просторне или временске функције ƒ(x) дат је са:
(1)
где је А0 бројна непроменљива која одређује потребан положај функције у односу на у-осу, m је цео број од нуле навише у случају Аm, и од 1 навише у случају Bm, к=2π је периодни број (), док су А0 и B0 бројне вредности, тзв. коефицијенти распона, који одређују распон (амплитуду) синусних и косинусних функција, у том редоследу. Ови коефицијенти су дати са:
(1.1) (1.2)
Вредност А0 дата је са:
(1.3)
У случају парне функције, тј. кад је ƒ(x)=-ƒ(x) - другим речима, кад је функција симетрична око усправне (у) осе - сви Bm коефицијенти су једнаки нули, и Фуријеов низ садржи само косинусне чланове, који су такође парне функције. У случају непарне функције, тј. кад је ƒ(x)=-ƒ(-x), низ садржи само синусне чланове, који су такође непарне функције.
У случају кад функција није ни парна ни непарна, низ садржи и синусне и косинусне чланове.
мини|СЛИКА 3: ФУРИЈЕОВА СЕРИЈА Слика десно показује Фуријеов тригонометријски низ квадратног таласа, чији је период (таласна дужина) 4, а распон (амплитуда) В=1. Први члан у низу (у загради) је тзв. основна учесталост (), иза које се нижу пратеће учесталости (). Пошто је функција ƒ(x) парна, низ се састоји само од синусних чланова, и знак коефицијента се, у овом случају, наизменично мења.
Основна учесталост има исти период као квадратни талас, и нешто већи распон, једнак 4/π. Свака следећа учесталост има мању таласну дужину, вишу учесталост и мањи распон. Са сваким следећим чланом, облик дат збиром тригонометријских функција је ближи облику квадратног таласа. Мада је број чланова у низу теоретски неограничен, број чланова неопходних да се произведе одређен облик је у начелу ограничен, јер високе учесталости постају занемарљиве.
Граф који приказује учесталости и распоне Фуријеовог низа носи име лепеза учесталости (). Свака учесталост је приказана као делта функција. У случају квадратног таласа, ове делта функције су оивичене синк функцијом ().
Фуријеов екпоненцијални низ
На основу Ојлерове формуле и њеног комплесксног пара , веза између тригонометријских функција у тригонометријском Фуријеовом низу и дела комплексног броја који описује фазу, φ, је дата са:
(2) (2.1)
У основи, вредност која се додаје збиру у свакој тачки функције ƒ(x) од стране сваког члана низа је одређена производом вредности (распона) тригонометријске функције за ту тачку и коефицијента распона у случају тригонометријског низа, док се у случају експоненцијалног низа до вредности распона функције, која се множи са коефицијентом распона, долази кроз фазу комплексног броја у тој тачки, одређену вредношћу .
Заменом тригонометријских функција у општем облику Фуријеовог тригонометријског низа (једначина 1) одговарајућим обликом комплексне експоненцијалне функције, добија се општи облик Фуријеовог експоненцијалног низа:
(3)
где је
(3.1) (3.2), и (3.3)
Ако се распон учесталости прошири на негативне вредности, израз за Фуријеов експоненцијални низ се додатно поједностављује у:
(4)
где је комплексни коефицијент распона:
(4.1)
Фуријеовa трансформацијa
Фуријеова серија описује саставне учесталости правилних () периодичних функција, како оних код којих део који представља промену чини цео период (нпр. синусоид), тако и оних код којих је промена функције само део периода. Што се промена функције - која, у начелу, представља сигнал - више смањује у односу на дужину периода, тј. што се просторни или временски размак између два сигнала више повећава у односу на дужину сигнала, то се више смањује размак између фреквенција које ту функцију описују (слика десно).