Степен двојке

мини|Визуелизација степена двојке од 1 до 1024 (20 до 210).

За друге потребе, види Степен двојке (вишезначна одредница).

У математици, степен двојке означава број форме 2n где је n цео број, тј. резултат степеновања бројем два као базом и целим бројем n као експонентом.

У контексту у ком се разматрају само цели бројеви, n је ограничен на не-негативне вредности, тако да имамо 1, 2, и 2 помножене самим собом одређени број пута.

Због тога што је два основа у систему бинарних бројева, степен двојке је чест у рачунарској науци. Записан у бинарном облику, степен двојке увек има форму 100…000 или 0.00…001, баш као и степен десетке у децималном систему.

Изрази и једначине  Вербални изрази, математичке ознаке, и изрази рачунарског програмирања користе степен двојке или функцију укључујући: 2 на n 2 на степен n 2 степен n степен(2, n) ст(2, n) 2n 1 << n 2 ^ n 2 ** n 2 n 2 ↑ n A(n - 3, 3) + 3

Рачунарска наука Два на степен n, написано као 2n, је број начина на који се битови у бинарном систему дужине n могу организовати. Реч, тумачена као неозначен цео број, може бити представљена вредностима од 0 (000…000) до 2n − 1 (111…111) закључно. Одговарајућа целобројна вредност може бити позитивна, негативна или нула; види представе означених бројева. У сваком случају, један мање од степена двојке је често горња граница целих бројева код бинарних рачунара. Као последица, бројеви ове форме се често појављују у рачунарском софтверу. На пример, видео игрица покренута на 8-битном систему може ограничити резултат или број предмета које играч може носити на 255— резултат коришћења бајта, који је дугачак 8 бита, да сачува број, дајући максималну вредност 28 − 1 = 255. На пример, у делу Легенда о Зелди, главни лик је ограничен да чува 255 рупија (валута у игрици) у било ком тренутку, док се видео игра Пек-Мен чувено гаси на нивоу 255.

Степен двојке се користи за мерење рачунарске меморије. Бајт сада садржи осам бита (октет, као резултат могућности 256 вредности (28). (Израз бајт је некад значио (и у неким случајевима још увек значи) скуп битова, уобичајено 5 до 32 бита, пре него само 8-битних јединица.) Префикс кило, у вези са бајтом, може бити, и одувек је био, коришћен као 1,024 (210). Међутим, уопште, израз кило је био коришћен у Међународном систему јединица у значењу 1,000 (103). Бинарни префикси су били стандардизовани, као што киби (Ki) значи 1,024. Скоро сви процесорски регистри имају величину степена двојке, 32 или 64 су најчешћи.

Степен двојке се појављује на другим местима такође. За многе дискове, барем једна величина сектора, број сектора по стази, и број стаза по површини диска је степен двојке. Величина логичког блока је скоро увек степен двојке.Бројеви који нису степен двојке се појављују у многим ситуацијама, као што су видео резолуције, али су они често збир или производ само два или три степена двојке, или степен двојке минус један. На пример, 640 = 512 + 128 = 128 × 5, и 480 = 32 × 15. На други начин, они имају прилично уобичајене шаблоне битова.

Мерсенови прости бројеви Слично, прост број (као 257) који је за један већи од позитивног степена двојке се назива Фермаов прост број — сам експонент је степен двојке. Разломак који има степен двојке као делилац се назива двојни разломак. Бројеви који могу бити представљени као збирови узастопних позитивних целих бројева се називају углађени бројеви; они су заправо бројеви који нису степен двојке.Прост број који је за један мањи од степена двојке се зове Мерсенов прост број. На пример, прост број 31 је Мерсенов прост број зато што је за 1 мањи од 32 (25).

Еуклидови елементи, 9. књига Геометријска прогресија 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (или, у бинарном бројевном систему 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, … ) је важна у теорији бројева. 9. књига, 36. предлог Елемената доказује да ако је сума првих n чланова ове прогресије прост број (значи, Мерсенов прост број поменут изнад), онда ова сума помножена n-тим чланом је савршен број. На пример, сума првих 5 чланова низа 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, који је прост број. Сума 31 помножена са 16 (5. члан низа) је једнака 496, који је савршен број.

9. књига, 35 Предлог, доказује да ако је у геометријском низу први члан одузет од другог и последњег члана низа, онда је вишак другог први—тако да је вишак последњег све оно пре њега. (Ово је преправка наше формуле за геометријски низ изнад.) Примењујући ово на геометријску прогресију 31, 62, 124, 248, 496 (која резултује од 1, 2, 4, 8, 16 множењем свих чланова до 31), видимо да 62 минус 31 је 31 као и 496 минус 31 је збир 31, 62, 124, 248. Стога, бројеви 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 додати до 496 и даље су сви ови бројеви деле број 496. Под претпоставком да p дели број 496 и није међу овим бројевима. Претпоставимо да су p q једнаки 16 × 31, или да је 31 q, а p 16. Сада p не може да дели 16 или би било међу бројевима 1, 2, 4, 8 или 16. Стога, 31 не може да дели q. И како 31 не дели q и q је 496, основна теорема аритметике имплицира да q мора да дели 16 и да буде међу бројевима 1, 2, 4, 8 или 16. Нека q буде 4, онда p мора бити 124, што је немогуће с обзиром на то да хипотеза p није међу бројевима 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 или 248.

Првих 96 степена двојке

20 = 1216 = 65,536232 = 4,294,967,296248 = 281,474,976,710,656264 = 18,446,744,073,709,551,616280 = 1,208,925,819,614,629,174,706,17621 = 2217 = 131,072233 = 8,589,934,592249 = 562,949,953,421,312265 = 36,893,488,147,419,103,232281 = 2,417,851,639,229,258,349,412,35222 = 4218 = 262,144234 = 17,179,869,184250 = 1,125,899,906,842,624266 = 73,786,976,294,838,206,464282 = 4,835,703,278,458,516,698,824,70423 = 8219 = 524,288235 = 34,359,738,368251 = 2,251,799,813,685,248267 = 147,573,952,589,676,412,928283 = 9,671,406,556,917,033,397,649,40824 = 16220 = 1.048.576236 = 68,719,476,736252 = 4,503,599,627,370,496268 = 295,147,905,179,352,825,856284 = 19,342,813,113,834,066,795,298,81625 = 32221 = 2,097,152237 = 137,438,953,472253 = 9,007,199,254,740,992269 = 590,295,810,358,705,651,712285 = 38,685,626,227,668,133,590,597,63226 = 64222 = 4,194,304238 = 274,877,906,944254 = 18,014,398,509,481,984270 = 1,180,591,620,717,411,303,424286 = 77,371,252,455,336,267,181,195,26427 = 128223 = 8,388,608239 = 549,755,813,888255 = 36,028,797,018,963,968271 = 2,361,183,241,434,822,606,848287 = 154,742,504,910,672,534,362,390,52828 = 256224 = 16.777.216240 = 1,099,511,627,776256 = 72,057,594,037,927,936272 = 4,722,366,482,869,645,213,696288 = 309,485,009,821,345,068,724,781,05629 = 512225 = 33,554,432241 = 2,199,023,255,552257 = 144,115,188,075,855,872273 = 9,444,732,965,739,290,427,392289 = 618,970,019,642,690,137,449,562,112210 = 1024226 = 67,108,864242 = 4,398,046,511,104258 = 288,230,376,151,711,744274 = 18,889,465,931,478,580,854,784290 = 1,237,940,039,285,380,274,899,124,224211 = 2,048227 = 134,217,728243 = 8,796,093,022,208259 = 576,460,752,303,423,488275 = 37,778,931,862,957,161,709,568291 = 2,475,880,078,570,760,549,798,248,448212 = 4.096228 = 268.435.456244 = 17,592,186,044,416260 = 1,152,921,504,606,846,976276 = 75,557,863,725,914,323,419,136292 = 4,951,760,157,141,521,099,596,496,896213 = 8,192229 = 536,870,912245 = 35,184,372,088,832261 = 2,305,843,009,213,693,952277 = 151,115,727,451,828,646,838,272293 = 9,903,520,314,283,042,199,192,993,792214 = 16,384230 = 1,073,741,824246 = 70,368,744,177,664262 = 4,611,686,018,427,387,904278 = 302,231,454,903,657,293,676,544294 = 19,807,040,628,566,084,398,385,987,584215 = 32,768231 = 2,147,483,648247 = 140,737,488,355,328263 = 9,223,372,036,854,775,808279 = 604,462,909,807,314,587,353,088295 = 39,614,081,257,132,168,796,771,975,168Може се видети да је почетак од 2 последње цифре периодичан са периодом 4, са циклусом 2–4–8–6–, а почетак са 4 последње цифре периодичан са периодом 20. Ови обрасци важе генерално за било који степен, у односу на било коју базу. Образац се наставља, наравно, где је полазна тачка сваког обрасца 2k, а период је мултипликативна група реда 2 модула  5k, што је φ(5k) = 4 × 5k−1 (види Мултипликативна група целих бројева модула n).

Степен 1024 Првих неколико степена 210 су мало виши од ових од 1000: 20=1= 10000(0% одступања)210=1 024≈ 10001(2.4% одступања)220=1 048 576≈ 10002(4.9% одступања)230=1 073 741 824≈ 10003(7.4% одступања)240=1 099 511 627 776≈ 10004(10% одступања)250=1 125 899 906 842 624≈ 10005(12.6% одступања)260=1 152 921 504 606 846 976≈ 10006(15.3% одступања)270=1 180 591 620 717 411 303 424≈ 10007(18.1% одступања)280=1 208 925 819 614 629 174 706 176≈ 10008(20.9% одступања)290=1 237 940 039 285 380 274 899 124 224≈ 10009(23.8% одступања)2100=1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376≈ 100010(26.8% одступања)2110=1 298 074 214 633 706 907 132 624 082 305 024≈ 100011(29.8% одступања)2120=1 329 227 995 784 915 872 903 807 060 280 344 576≈ 100012(32.9% одступања) Види још ИEEE 1541-2002.

Степен двојке чији је експонент степен двојке Пошто су подаци (посебно цели бројеви) и адресе података складиштени у истом хардверу, а подаци су складиштени у једном или више октета (23), дупли експоненти двојке су чести. На пример, 

21 = 2 22 = 4 24 = 16 28 = 256 216 = 65536 232 = 4,294,967,296 264 = 18,446,744,073,709,551,616 (20 цифара) 2128 = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456 (39 цифара) 2256 = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936 (78 цифара) 2512 = 13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,030,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,649,006,084,096 (155 цифара) 21,024 = 179,769,313,486,231,590,772,931,...,304,835,356,329,624,224,137,216 (309 цифара) 22,048 = 323,170,060,713,110,073,007,148,...,193,555,853,611,059,596,230,656 (617 цифара) 24,096 = 104,438,888,141,315,250,669,175,...,243,804,708,340,403,154,190,336 (1,234 цифара) 28,192 = 109,074,813,561,941,592,946,298,...,997,186,505,665,475,715,792,896 (2,467 цифара) 216,384 = 118,973,149,535,723,176,508,576,...,460,447,027,290,669,964,066,816 (4,933 цифара) 232,768 = 141,546,103,104,495,478,900,155,...,541,122,668,104,633,712,377,856 (9,865 цифара) 265,536 = 200,352,993,040,684,646,497,907,...,339,445,587,895,905,719,156,736 (19,729 цифара) Неки од ових бројева представљају број вредности представљених коришћењем заједничких рачунарских врста података. На пример, 32-битна реч садржи 4 бита и може бити представљена 232 различитим вредностима које могу бити сматрани као само бит-образсци, или се чешће тумаче као неозначени бројеви од 0 до 232 − 1, или као опсег означених бројева између −231 и 231 − 1. Види јоште тетратион и ниже хипероперације. За више детаља о означеним бројевима погледајте комплемент двојке.У вези са нимберима ови бројеви се често називају Фермаови 2-степени бројеви.

Бројеви  формирају ирационални низ: за сваки низ позитивних целих бројева, низ

конвергира до ирационалног броја. Упркос брзом порасту овог низа, он најспорије расте у ирационалност од свих познатих низова.

Неки одабрани степени двојке 28 = 256 Број вредности које су представљене 8 бита у бајту, прецизније се зове октет. (Термин бајт се често дефинише као скуп битова чешће него стриктна дефиниција 8-битне количине, као што је демонстрирано термином килобајт.) 210 = 1,024 Бинарна апроксимација кило-, или множилац 1,000, који проузрокује промену префикса. На пример: 1,024 бајтова = 1 килобајт (или кибибајт). Овај број нема специјална значај за рачунаре, али је значајан за људе зато што користимо степене десетке. 212 = 4,096 Величина стране хардвера код Интел x86 процесора. 216 = 65,536 Број различитих вредности које се могу представити у једној речи 16-битног процесора, као што је оригиналан x86 процесор.Though they vary in word size, all x86 processors use the term "word" to mean 16 bits; thus, a 32-bit x86 processor refers to its native wordsize as a dword