мини|300x300п|Имајући у виду бесконачну дужину времена, шимпанза која куца насумично на писаћој машини ће готово сигурно исписати сва Шекспирова дела.
Теорема бесконачног мајмуна тврди да ће мајмун ударајући насумично по тастатури писаће машину у бесконачном временском периоду готово сигурно исписати дати текст, као што су сабрана дела Вилијама Шекспира.
У овом контексту, „скоро сигурно” је математички израз са прецизним значењем, и „мајмун” није прави мајмун, већ метафора за апстрактни уређај који прави неограничено много неповезаних секвенци слова и симбола. Једна од најранијих употреба „метафоре мајмуна” је од француског математичара Емила Борела током 1913. године, али конкретно прва употреба се вероватно догодила и раније. Значајност теореме није поуздана - вероватноћа Универзума пуног мајмуна пишући целокупан рад као што је Шекспиров Хамлет је толико мала да је шанса која се појављује током периода времена од стотину хиљада редова величине дужа него старост универзума али технички постоји. Такође треба напоменути да прави мајмуни не праве неповезане излазе, што значи да прави мајмун који притиска дугмиће неограничено дуго нема статистичку сигурност да ће написати било који задати текст.
Варијанте теореме укључују више, па чак и бесконачно много писаца, а циљни текст варира између целе библиотеке и једне реченице. Историја ових изјава може се пратити уназад до Аристотелове о стварању и корупцији и Цицеронове -{De natura deorum}- (О природи богова), кроз дела Блеза Паскала и Џонатана Свифта, и на крају до модерних текстописаца. Почетком 20. века, Емил Борел и Артур Едингтон користе теорему да илуструју временски имплицит у темељима статистичке механике.
Објашњење
Директни доказ Постоји јасан доказ ове теореме. Као увод, сећам се да ако су два догађаја статистички независна, онда је вероватноћа оба дешавања једнака производу вероватноће сваког од њих који се дешавају независно. На пример, ако је могућност кише у Москви на одређени дан у будућности 0.4 и могућност земљотреса у Сан Франциску тог истог дана 0.00003, онда је вероватноћа за оба догађа на тај дан 0,4 × 0.00003 = 0.000012, под претпоставком да су заиста независни.
Претпоставимо да писаћа машина има 50 тастера, а реч коју куцате је банана. Ако се случајно и независно притисне тастер, то значи да сваки тастер има једнаке шансе да буде притиснут. Затим су шансе да је прво укуцано слово 'Б' 1/50, а шансе да је друго слово а такође 1/50, и тако даље. Дакле, шансе за првих шест слова правописа банана је (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) = (1/50)6 = 1/15 625 000 000 , Мања од један у 15 милијарди, али не и нула, а тиме и могући исход.
Из горе наведеног, могућност да се не укуца банана у датом блоку од 6 слова је 1 - (1/50) 6. Пошто је сваки блок откуцан независно, прилика за Xn да не укуцате банану у једној од првих n блокова од 6 слова је
Како n расте, Xn се смањује. За свако милионито n, Xn је отприлике 0.9999, али за n од 10 милијарди Xn је отприлике 0.53, а за n од 100 милијарди је око 0.0017. Како се n приближава бесконачности, вероватноћа је да Xn тежи нули; што значи, чинећи n довољно великим, Xn може бити мали као што се жели, Isaac generalizes this argument immediately to variable text and alphabet size; the common main conclusion is on pp. 50.This shows that the probability of typing "banana" in one of the predefined non-overlapping blocks of six letters tends to 1. In addition the word may appear across two blocks, so the estimate given is conservative. а шансе за куцање банане приближава 100%.
Исти аргумент показује зашто ће бар један од бесконачно много мајмуна написати текст тако брзо као што би се написао од савршено прецизног људског текстописца копирајући га од оригинала. У овом случају, Xn = (1 - (1/50)^6)^n где Xn представља вероватноћу да ниједан од прве врсте n мајмуна не напише банана правилно у свом првом покушају. Када узмемо у обзир 100 милијарди мајмуна, вероватноћа пада на 0,17%, а када се n број мајмуна повећава, вредност Xn - вероватноћа мајмуна да не успевају да напишу дати текст - се приближава нули произвољно близу. Граница, за n које иде до бесконачности, је нула. Дакле, вероватноћа да се реч банана појави у неком тренутку након бесконачног броја откуцаја на тастатури је једнака један.
Бесконачни низови Ово се може навести генерално и компактно у виду низова, који су секвенце знакова одабраних из неког коначног алфабета: Имајући у виду бесконачан низ где се сваки карактер насумично бира, неки дати коначан низ скоро сигурно се јавља као подниз у неком положају. С обзиром на бесконачни низ безброј низова, где је сваки карактер сваког низа равномерно изабран насумце, неки дати коначан низ скоро сигурно се јавља као префикс једне од ових низова.
Оба прате следећу Борел-Кантели теорему. За другу теорему, нека Ek буде догађај да k-ти низ почиње са датим текстом. Зато што ово има неку фиксну нулу вероватноће p да се догоди, Ek-ови су независни, а сума испод дивергира,
вероватноћа да се бесконачно много Ek-ова јавља једном. Прва теорема је слично приказана; може да подели случајан низ у непреклапајуће блокове који се подударају са величином жељеног текста, и да направи Ek догађај где је k-ти блок једнак жељеном низу.The first theorem is proven by a similar if more indirect route in
Вероватноће Међутим, за физичко значење броја мајмуна који куцају, за физичко значење дужине времена, резултати су обрнути. Ако је било онолико мајмуни колико има атома у свемиру, куцање је изузетно брзо за трилион пута брже него живот универзума, вероватноћа да мајмун копира чак једну страницу Шекспира је неки део минута.
Игнорисањем интерпункција, размака, и капитализације, мајмун који куца слова равномерно насумично има једну шансу у 26 шанси правилно написаних првих слова Хамлета. Он има шансу у 676 (26 × 26) шанси куцања прва два слова. Пошто се вероватноћа смањује експоненцијално, на 20 слова он има само једну шансу у 26^20 шанси = 19,928,148,895,209,409,152,340,197,376 (скоро 2 × 1028). У случају целог текста Хамлета, вероватноћа је тако мала да је то непојмљиво. Текст Хамлет садржи око 130.000 слова. Стога постоји вероватноћа једном у 3.4 × 10183,946, добити прави текст на првом покушају. Просечан број слова која треба да буду откуцана док се не појави текст је такође 3,4 × 10183.946, или, укључујући интерпункције, 4.4 × 10183,946
Чак и да је сваки протон у свемиру био мајмун са писаћом машином, куцање из Великог праска до краја свемира (када протони више не постоје), они би и даље треба смешно дуго време - више од 300 и 60000 редова величине дужине - да чак буде једном у 10500 шанси за успех. Другачије речено, за једну у билион шанси за успех, требало би да буде 10^360,641 универзума направљених од атомских мајмуна. Као што су Кител и Кромер рекли, „Вероватноћа Хамлета је стога нула у сваком оперативном смислу догађаја ...”, а изјава да мајмуни морају на крају успети „даје погрешан закључак о веома великом броју”. Ово је из њихових уџбеника термодинамике, област чији су статистички темељи мотивисани првим познатим излагањима мајмуна који куцају.
У ствари, постоји мање од једног билиона могућности за успех да такав један Универзум направљен од мајмуна који могу исписати неке посебне документе који су једва 79 знакова дуги.
Скоро сигурно Вероватноћа да ће бесконачан случајно генерисани низ текста садржи одређени коначан подниз је 1. Међутим, то не значи да је одсуство у поднизу „немогуће”, упркос одсуству који има претходну вероватноћу 0. На пример, бесмртан мајмун могао би случајно написати слово Г као прво слово, Г као друго, и Г као и свако следеће слово, производећи бесконачан низ Gs; ни у једном тренутку мајмун ће бити приморан да унесете било шта друго. Колико год да је дуг насумично генерисани, коначни низ, постоји мала али и ненулта шанса да ће се испоставити да се састоји од истог карактера који се понавља; ово се могућност приближава нули и дужина низа прилази бесконачности. Не постоји ништа посебно о таквом монотоној секвенци осим да се може лако описати; исто важи и за било које специфичне секвенце, као што су „РГРГРГ” поновљене увек, или „Аб-аа-ББ-ааа-БББ -...” или „три, шест, девет, дванаест ...”.
Ако хипотетички мајмун има писаћу машину са 90 подједнако слиним кључевима који садрже бројеве и знакове интерпункције, онда прво куцани тастери могу бити „3.14” (прве три цифре броја Пи) са вероватноћом (1/90)^4, што је 1 / 65.610.000. Једнако је вероватно и за било који други низ знакова од четири дозвољених знакова писаће машине, као што су „GGGG”, „мАТh”, или „q%8е”. Вероватноћа да ће 100 насумично куцаних кључева да се састоје од првих 99 цифара броја Pi или било која друге одређене секвенца те дужине, је знатно нижа: (1/90)^100. Ако је додељена дужина текста мајмуну бесконачна, шанса за куцање је да је Pi је 0, која је исто тако могућа (математички вероватно), као куцање само Gs (и вероватноће 0).
Исто важи и за случај писања посебне верзије Хамлета праћен бескрајних копија себе; или Хамлета праћеним свим цифрама броја Pi; ови специфични низови су подједнако бесконачни у дужини, нису забрањени под условима проблема, а сваки од њих има претходну вероватноћу 0. У ствари, сваки посебно бесконачан низ бесмртне врсте мајмуна ће имати претходну вероватноћу 0 , иако мајмун мора да откуца нешто.
Ово је наставак принципа да ће коначан низ случајних текстова има све мање и мање вероватноће да ће бити дужи одређени низ (иако су сви специфични низови подједнако вероватни). Ова вероватноћа се приближава 0 када се стринг приближава бесконачности. Тако је вероватноћа мајмуна што куца бескрајно дуг низ, као и вероватноћа за цифре броја пи, на тастатури од 90 слова једнака (1/90) ∞ који износи (1 / ∞) која је у суштини 0. У исто време, вероватноћа да секвенца садржи одређену подсеквенцу (као што је реч МАЈМУН или 12та кроз 999 цифара броја пи, или верзију Библије краља Џејмса) се повећава са укупним порастом низа. Ова вероватноћа приступа јединици када укупан низ приступа бесконачности, а самим тим и оригинална теорема је тачна.
Коресподеција између низова и бројева У поједностављеном мисаоном експерименту, мајмун може имати писаћу машину са само два тастера: 1 и 0. Бесконачно дуги низ произвео би одговарајуће бинарне цифаре одређене реалним бројевима између 0 и 1. А пребројивост бесконачних могућих низова се завршава у бесконачним понављањима, што значи да је одговарајући стварни број рационалан. Примери укључују низове којима одговарају: једна трећина (010101. ..), пет шестина (11010101. ..) и пет осмина (1100000. ..). Само подниз од стварих реалних бојева низова (иако је пребројив бесконачан подподниз) садржи целину дела Хамлета (ако је текст је преведен из ASCII у бинарни).
У међувремену, постоји Бесконачно пребројив комплет низова који се не завршавају у том понављању; они одговарају низовима ирационалних бројева. Они могу бити сортирани у два пребројива бесконачна подскупа: она које садрже Хамлета и она које не. Међутим, "највећи" подскуп свих реалних бројева је онај који не садржи само Хамлета, али који садржи сваки други могући низ било које дужине, а са једнаком дистрибуцијом таквих низова. Ови ирационални бројеви се зову нормални. Зато што су скоро сви бројеви нормални, готово сви могући низови садрже све могуће коначне подстрингове. Дакле, вероватноћа да мајмун куца нормалан број је 1. Исти принципи важе без обзира на број тастера од којих мајмун може да бира. 90 слова на тастатури може да се посматрају као генератор бројева написаних у основи 90.
Историја
Статистичка механика