Функција оптичког преноса, скр. ФОП (енг. Optical transfer function, OTF) је сложена математичка функција која описује оптичку слику објекта чија површина је бескрајан низ паралелнх светлих и тамних линија са синусоидним распоредом зрачења. Мада ФОП описује слику само ове једне врсте објекта, сматра се општим показатељем нивоа каквоће физичке оптичке слике. Графички приказ ФОП, најчешће у виду њеног дела који описује оштрину слике (функција преноса висине, ФПВ), је непосредан, лако разумљив показатељ каквоће оптичке слике. Због тога је у широкој употреби како у оптичким уџбеницима и публикацијама, тако и у сфери производње оптичких инструмената.
У зависности од оптичке слике коју користи за прорачун, ФОП може бити дифракциона и геометријска. Прва користи дифракциону, тј. физичку оптичку слику, а друга геометријску слику аберације, тј. заснива се на распореду тачака зрака, За разлику од дифракционе ФОП, геометријска ФОП има само ограничену употребу. Предмет даљег текста је дифракциона ФОП.
Опис функције оптичког преноса
ФОП се може описати кроз опис њених субјеката - синусоидног објекта и његове слике - кроз облик у коме се представља резултат до ког се њоме долази и, најзад, кроз начин на који се до ових резултата долази, тј. њен математички облик и поступак.
Објект функције оптичког преноса
ФОП не користи стварни објект, него његов математички облик. Овај објект је непрекидна синусоидна промена јачине зрачења, тј. представљен је бескрајним низом тамних и светлих линија, чији сјај се постепено мења од највишег (у средини светле линије) до најнижег (средина тамне линије). Ширина синусоидног периода, тј. ширина светлих и тамних линија се креће у распону од бесконачно широких до бесконачно уских. Ако су особине оптичког отвора познате, путем ФОП се долази до својстава слике коју он ствара као функције учесталости објекта, тј. као функције ширине светлих и тамних линија.
Другим речима, ФОП користи не један објект, него већи број објеката различитих ширина линија, на основу којих се долази до непрекидне линије (тј. графиконa) која описује оштрину слике у распону учесталости у ком оптички отвор ствара препознатљиву слику.
Слика функције оптичког преноса
Слику ФОП описује неколико чинилаца:
(1) она исказује пренос висине сигнала у односу на висину у слици створену у савршеном оптичком отвору,
(2) такође исказује бочни помак слике у односу на савршени оптички отвор,
(3) она је, као и сама ФОП и њен објект, изражена не у просторном (стварном) домену, него у домену учесталости (фреквенције),
(4) она је створена у некохерентној светлости, и
(5) она је опште мерило каквоће оптичке слике
Висина и помак сигнала
thumb|СЛИКА 1: ФУНКЦИЈА ОПТИЧКОГ ПРЕНОСА ЗА ЈЕДНУ УЧЕСТАНОСТ У најједноставнјем облику, ФОП се може представити као висина сигнала и положаја ове слике у датом оптичком отвору у односу на на исте у слици у савршеном оптичком отвору, у распону учесталости сигнала од бескрајно широког до ширине на нивоу учесталости реза, на којој контраст слике пада на нулу, тј. синусоид постаје права линија. Овако изражена висина сигнала представља висину, или величину ФОП. Бочни помак слике представља њену фазу.
Слика десно показује елементе ФОП за једну учесталост; јасноће ради, слика има јединично увећање (битно је нагласити да висина - В1/В2 - и фазни помак Δ сигнала нису збир, него два комплементарна својства ФОП која дају пуни опис слике).
Другим речима, ФОП изражава ова два својства слике у распону учесталости синусоида од бесконачно широких линија, за које је пренос висине увек потпун (један), до ширине линија при којој висинa синусоида слике пада на нулу, тј. линије се губе и слика постаје равномерно обасјана површина.
Висина сигнала у односу на исту у савршеном отвору је најбитније својство слике, јер представља меру њене оштрине, сагласно једноставном изразу:
К=(Вв-Вд)/(Вв+Вд) ........ (1)
где је К контраст (оштрина) слике, Вв висина (амплитуда) врха, и Вд висина дна сигнала (висина врха је јединична вредност, а висина дна је изражена у односу на њу).
У смислу стварних објеката, пошто је висина синусоидног сигнала мера оштрине (контраста) слике, ФОП даје меру каквоће слике у распону од највећих објеката до објеката на граници раздвојне моћи. Ако ФОП оптичког склопа пада на нулу пре ФОП савршеног оптичког отвора, она такође установљава нови, нижи ниво раздвојне моћи оптичког склопа.
Пошто линије представљају синусоидни распоред зрачења, помак линија у односу на слику у савршеном оптичком отвору - која се у овом погледу поклапа са Гаусовском сликом - представља фазу ФОП. Када се ова фаза разликује од нуле, постоји бочни помак физичке у односу на Гаусовску слику нормалан на смер пружања линија. За сразмерно мала изобличења ФШТ, фазни део функције је или нула, или занемарљиво мали, и ФОП је у потпуности представљена њеним делом који изражава пренос висине синусоида.
Домен учесталости
Мада је заснована на својствима физичке, или дифракционе слике објекта-синусоида, који се ствара конволуцијом (збирањем) функције ширења тачке (ФШТ) оптичког склопа са једне, и Гаусовске (геометријске) слике објекта са друге стране, ФОП не користи непосредно физичка својства објекта и слике, него њихов облик у домену учесталости (фреквенције), тзв. спектрум (уопштено, низ учесталости које комбиноване у Фуријеовој трансформацији производе одређену линију или облик). За синусоид, на пример, спектрум се састоји од само једне учесталости, дефинисане периодом и висином (амплитудом), која је, наравно, учесталост самог синусоидног сигнала.
Некохерентна светлост
Чињеница да ФОП описује својства слике створене конволуцијом Гаусовске слике објекта и ФШТ, тј. енергије слике тачке оптичког склопа, говори да ФОП важи за некохерентну светлост, те се пуним именом може звати некохерентна функција оптичког преноса (оптичка слика у кохерентној светлости је дефинисана као квадрат збирне амплитуде у слици, а функција која описује амплитуду слике синусоида у кохерентној светлости зове се функција кохерентног преноса).
Мерило каквоће оптичке слике
Изобличења ФШТ због оптичких аберација, неравномерног преноса амплитуде светлосних таласа кроз оптички отвор - где су најчешћи случај заклони у оптичком отвору - и других чинилаца, утичу на каквоћу ове дифракционе слике. У начелу, конволуција Гаусовске слике синусоидног објекта и ФШТ оптичког отвора, узрокује ширење енергије из сјајних у тамне линије, снижавајући оштрину настале физичке слике и њену раздвојну моћ, чак и у случају тзв. савршеног оптичког отвора. Што је енергија ФШТ више раширена аберацијама и другим чиниоцима са сличним ефектом, то су веће и негативане последице по каквоћу слике.
Графикон функције оптичког преноса
Усправна скала ФОП графикона је за висину сигнала - тј. за амплитуду синусоида енергије зрачења који представља објект ФОП - док је водоравна скала за учесталост (фреквенцију) овог синусоида.
Скала висине је дата од нуле до један, тј. од нивоа на ком се слика потпуно губи, постајући равномерно осветљена површина, до новоа на ком је висина (енг. modulus) сигнала једнака висини у слици створеној у савршеном оптичком отвору.
Скала учесталости сигнала, која се по правилу обележава словом грчког алфабета ν (ни), је обично такође дата од 0 до 1, као број обрнуто сразмеран дифракционој раздвојној моћи оптичког отвора (λ/D за савршен кружни оптички отвор, где је λ таласна дужина светлости, а D пречник отвора). Другим речима, водоравна скала се креће од 0 за бесконачно широк синусоид (тј. бесконачно широке светле и тамне линије објекта) до 1 за ширину линија - где је ширина линије размак између две тачке синусоида у истој фази, тј. једнака ширини светле и тамне линије заједно - једнаку D/λ, граничној учесталости оптичког отвора.
Водоравна скала се такође представља и линеарно, као 1/(λ/D)ƒ=1/λF кад, за таласну дужину λ у милиметрима, представља број линија по милиметру (ƒ је жижна даљина, а F фокални рацио оптичког отвора).
За савршен оптички отвор, висинa сигнала, тј. оштрина слике синусоидног објекта, равномерно опада од 1 за бесконачно широке линије (тј. за учесталост сигнала једнаку нули) до нуле за ширину линија при којој је размак између средишта две суседне светле линије једнак λ/D. Изражена је једноставно као:
ФОП(ν)=(2/π)[cos-1ν-ν(1-ν2)0.5] ........ (2)
где је угао добијен из cos-1ν=аrccos(ν) изражен у радијанима (тј. дели се са 180/π). Изрази
ФОП = (α/90)-2νsinα/π = (α/90)-sin(2α)/π ........ (2.1)
где је cosα=ν, тј. α=arccos(ν), дају исти резултат.
Гранична учесталост при којој се линије губе назива се учесталост реза (енг. cutoff frequency). За знатна изобличења слике тачке у оптичком склопу, учесталост реза се смањује, тј. помера се ка ширим линијама.
thumb|СЛИКА 2: ФУНКЦИЈА ОПТИЧКОГ ПРЕНОСА ЗА САВРШЕН И ЗА НЕСАВРШЕН ОПТИЧКИ ОТВОР Линија опадања оштрине слике, тј. ФОП граф, у присуству аберација увек је нижа од исте за савршен оптички отвор. Исто важи за оптички отвор са неравномерним преносом амплитуде таласа, са изузетком прстенастог (ануларног) отвора, у ком случају је оптички пренос бољи него у савршеном отвору за учесталости од око 0.5 (зависи од величине средишњег заклона) и више.
На слици десно је ФОП како је обично представљена (најчешће као функција преноса висине, ФПВ). Граф отвора са аберацијама (црвена линија) исказује значајан пад висине сигнала, тј. оштрине слике, нарочито за ширине линија - или, уопштено, за проширене детаље те величине - од око 0,2 до око 0,8 D/λ учесталост, или од око пет пута до око 1,25 пута веће од ширине линија при којој се оне потпуно губе (гранична учесталост). У случају да ФОП падне на нулу пре граничне учесталости, раѕдвојна моћ оптичког отвора је такође лошија него за савршен отвор.
У оквиру горе десно приказана је веза између висине, учестаности и слике синусоидног сигнала функције оптичког преноса.
Математички облик функције оптичког преноса
Функција оптичког преноса се може изразити на различите начине, али у основи је изражена или као Фуријеова трансформација функције ширења тачке, или као аутокорелација функције оптичког отвора. Такође, у уопштеном облику њена два основна дела, може се представити као комплексна висина, која садржи пренос висине и фазни помак на произвољној учесталости.
Функција оптичког преноса као Фуријеова трансформација функције ширења тачке
Ово је основни облик ФОП. По теорији конволуције, Фуријеова трансформација конволуције две функције је једнака производу Фуријеових трансформација ових функција. Пошто је физичка оптичка слика у некохерентној светлости конволуција Гаусовске слике и функције ширења тачке (енг. Point spread function, PSF), Фуријеова трансформација слике - тј. њеном лепеза учесталости - је производ Фуријеове трансформације Гаусовске слике (која је иста као објект, изузев за чинилац увећања) и Фуријеове трансформације функције ширења тачке, дакле ФОП, која је количник висине контраста (енг. modulation) слике и предмета (тј. Гаусовске слике синусоида). Према томе, ФОП је дата са:
........ (3)
....... (3.1)
где је вектор просторне учесталости, одређен размаком v између две суседне тачке синусоида у истој фази, тј. ширином линија слике синусоида, и обртним углом φ (интеграција се обавља за све оријентације слике унутар 360 степени, што је од значаја једино ако функција ширења распона није обртно симетрична), а је позициони вектор који спаја оптичку осу са произвољном тачком у равни слике, одређен размаком r између осе и тачке, и углом отвора γ.
Производ ових вектора се такође може изразити као производ апсолутних вредности (дужина) вектора и њиховог међусобног угла; у овом случају, =vrcos(φ-γ). Разломак пред интегралом у (3.1) је чинилац који своди средишњу висину ФОП на јединичну вредност у одсуству аберација (Е је укупна енергија у равни оптичког отвора, R је полупречник закривљености таласног фронта, P је сведена функција оптичког отвора, и λ је таласна дужина).
Функција оптичког преноса као аутокорелација функције оптичког отвора