Pregled pravilnih politopov vsebuje pravilne politope v evklidskih, sfernih in hiperboličnih prostorih.
Osnovni pregled pravilnih politopov
V naslednjem pregledu pravilnih politopov je podanih nekaj osnovnih lastnosti pravilnih politopov v odvisnosti od razsežnosti. razsežnostkonveksninekonveksnikonveksneevklidsketeselacijekonveksnehiperboličneteselacijenekonveksnehiperboličneteselacijeabstraktnipolitopi11 daljica000012∞ mnogokotnikov∞ zvezdni mnogokotniki110∞35 platonskih teles4 Kepler-Poinsotovi poliedri3 tlakovanja ∞ ∞∞46 konveksnih polihoronov10 Schläfli-Hessovih polihoronov1 satovje 4 0∞5 3 konveksni 5-politopi0 nekonveksnih 5-politopov3 teselacije5 4∞6+30100∞
Teselacije
Pri konveksnih politopih se lahko obravnava teselacijo in tlakovanje sfernega prostora.
Obravnava se lahko tudi teselacijo evklidskega in hiperboličnega prostora. Paziti je treba na to, da se z n-razsežnimi politopi lahko opravi teselacijo prostora, ki ima razsežnost za ena manjšo. Zgled: trirazsežna platonska telesa omogočajo teselacijo dvorazsežne ploskve na sferi.
Pravilni politopi v eni razsežnosti
V eni razsežnosti je samo en politop, katerega meje sta dva konca daljice. Označuje se ga s praznim Schläflijevim simbolom {}
Pravilni politopi v dveh razsežnostih
Politopi v dveh razsežnostih se imenujejo mnogokotniki. Pravilni mnogokotniki so enakostranični mnogokotniki. P-kotni pravilni mnogokotnik se zapiše s Schläflijevim simbolom v obliki {p}.
Konveksni pravilni politopi v dveh razsežnostih
Schläflijev simbol v obliki {p} predstavlja pravilni p-kotnik.
imeenakostranični trikotnik(2-simpleks)kvadrat(2-ortopleks)(hiperkocka)petkotnikšestkotniksedemkotnikosemkotnikSchläfli{3}{4}{5}{6}{7}{8}Coxeter-Dinkinslika75px75px75px75px75px75pximedevetkotnikdesetkotnikenajstkotnikdvanajstkotniktrinajstkotnikštirinajstkotnikSchläfli{9}{10}{11}{12}{13}{14}Dinkinslika75px75px75px75px75px75pximepetnajstkotnikšestnajstkotniksedemnajstkotnikosemnajstkotnikdevetnajstkotnikdvajsetkotnik...p-kotnikSchläfli{15}{16}{17}{18}{19}{20}{p}Dinkinslika75px75px75px75px75px75px
Degenerirani pravilni politopi (sferni) v dveh razsežnostih
Pravilni enokotnik in dvokotnik se lahko obravnava kot degenerirani poligon.
imeenokotnikdvokotnikSchläflijev simbol{1}{2}Coxeterjev diagramslika75px75px
Nekonveksni pravilni politopi v dveh razsežnostih
imepentagram heptagramoktagram eneagramidekagram...n-gramiSchläfli{5/2}{7/2}{7/3}{8/3}{9/2}{9/4}{10/3}{p/q}Coxeterslika75px75px75px75px75px75px75px
Teselacija
Znana je samo ena teselacija premice. To je dvorazsežni apeirogon, ki ima neskončno veliko oglišč in robov. Njegov Schläflijev simbol je {∞} in Coxeterjev diagram je .
320px
Pravilni politopi v treh razsežnostih
V treh razsežnostih se politopi imenujejo poliedri. Schläflijev simbol ima obliko {p, q}. To pomeni, da ima pravilne stranske ploskve tipa {p} ter pravilno sliko oglišč {q}.
Konveksni pravilni politopi v treh razsežnostih
Konveksni pravilni poliedri se imenujejo tudi platonska telesa.
imeSchläfli{p,q}Coxeterslika(prozorna)slika(telesna)slika(kroglična)stranske ploskve{p}robovioglišče{q}simetrijska grupadualni politoptetraeder(3-simpleks)(trikotna piramida){3,3}75px75px75px4{3}64{3}Td(sebi)kocka (3-kocka)(heksaeder){4,3}75px75px75px6{4}128{3}Ohoktaederoktaeder(3-ortopleks){3,4}75px75px75px8{3}126{4}Ohkockadodekaeder{5,3}75px75px75px12{5}3020{3}2Ihikozaoederikozaeder{3,5}75px75px75px20{3}3012{5}Ihdodekaeder
Degenerirani pravilni politopi (sferni) v treh razsežnostih
V sferni geometriji se hozoeder {2, n} in dieder {n, 2} obravnavata kot pravilna mnogokotnika.
imeSchläfli{p,q}CoxeterjevdiagramSlika(sfera)stranske ploskve{p}robovioglišča{q}simetrijadualni politophengonalni dieder{1,2}75px2{1}11{2}C1v(*22)hengonalni hozoederhengonal hosoheder{2,1}75px1{2}12{1}C1v(*22)hengonalni diederdigonalni dihederDigonalni hosoeder{2,2}75px2{2}22{2}D2h(*222)sebitrigonalni hozoeder{2,3}75px3{2}32{3}D3h(*322)trigonalni diedertrigonalni dieder{3,2}75px2{3}33{2}D3h(*322)trigonalni hozoederheksagonalni hozoeder{2,6}75px6{2}62{6}D3h(*622)heksagonalni dieder
Nekonveksni pravilni politopi v treh razsežnostih
Pravilni zvezdni poliedri se imenujejo Kepler-Poinsotovi poliedri. Poznani so samo štirje, ki se jih lahko uredi po ogliščih kot sta dodekaeder {5, 3} in ikozaeder {3, 5}.
imeslika(prosojna)slika(telesna)slika(sferna)diagram zvezdnega mnogokotnikaSchläfli{p,q} inCoxeter-Dinkinstranske ploskve{p}robovioglišča{q}verf.χgostotasimetrijadualni politopmajhen zvezdasti dodekaeder80px80px80px80px{5/2,5}12{5/2}30px3012{5}30px -63Ihveliki dodekaederveliki dodekaeder80px80px80px80px{5,5/2}12{5}30px3012{5/2}30px -63Ihmali zvezdasti dodekaederveliki zvezdasti dodekaeder80px80px80px80px{5/2,3}12{5/2}30px3020{3}30px27Ihveliki ikozaederveliki ikozaeder80px80px80px80px{3,5/2}20{3}30px3012{5/2}30px27Ihveliki zvezdasti dodekaeder
Teselacije Evklidsko tlakovanje
Znane so tri pravilne teselacije ravnine, ki imajo Eulerjevo karakteristiko z vrednostjo 0.
imeSchläfli {p,q}Coxeterjevdiagramslikatip stranske ploskve{p}slika oglišč{q}simetrijadualnokvadratno tlakovanje(kvadril){4,4}100px{4}{4}*442(p4m)(sebi)trikotno tlakovanje(deltil){3,6}100px{3}{6}*632(p6m)šestkotno tlakovanješestkotno tlakovanje(hekstil){6,3}100px{6}{3}*632(p6m)trikotno tlakovanje Evklidsko zvezdno tlakovanje
Ne obstaja pravilno tlakovanje zvezdnih mnogokotnikov
Hiperbolična tlakovanja
Teselacije hiperboličnega dvorazsežnega prostora se imenujejo hiperbolična tlakovanja. Obstaja neskončno veliko pravilnih tlakovanj v H2. Vsak par pozitivnih števil {p, q} ki zadošča pogoju 1/p + 1/q <1/2, da hiperbolično tlakovanje.
Vzorec: +Sferna (platonska)/Evklidska/hiperbolična (Poincaréjev disk) teselacije s Schläflijevimi simbolip \ q3456789380px(tetraeder){3,3}80px(oktaeder){3,4}80px(ikozaeder){3,5}80px(trikotno tlakovanje){3,6}80px{3,7}80px{3,8}80px{3,9}480px(kocka){4,3}80px(kvadratno tlakovanje){4,4}80px{4,5}80px{4,6}80px{4,7}80px{4,8}{4,9}580px(dodekaeder){5,3}80px{5,4}80px{5,5}80px{5,6}80px{5,7}{5,8}{5,9}680px(šestkotno tlakovanje){6,3}80px{6,4}80px{6,5}80px{6,6}{6,7}{6,8}{6,9}780px{7,3}80px{7,4}80px{7,5}{7,6}{7,7}{7,8}{7,9}880px{8,3}80px{8,4}{8,5}{8,6}{8,7}{8,8}{8,9}980px{9,3}{9,4}{9,5}{9,6}{9,7}{9,8}{9,9}
Štirirazsežni pravilni politopi
Pravilni 4-politopi s Schläflijevim simbolom v obliki {p, q, r} imajo celice tipa {p, q}, stranske ploskve tipa {p}, slike robov {r} in slike oglišč {q, r}.
slika oglišč štirirazsežnega politopa je polieder. Za pravilne štirirazsežne politope je to pravilni polieder. slika robov je mnogokotnik v katerem se vidi razporeditev stranskih ploskev okrog roba. Politopi v štirih razsežnostih je slika robov vedno pravilni mnogokotnik.
Eulerjeva karakteristika štirirazsežnih politopov je , ki pa je enaka 0 za vse oblike.
Konveksni pravilni politopi v štirih razsežnostih
V naslednji tabeli je prikazanih 6 konveksnih poliedrov. Vsi imajo Eulerjevo karakteristiko enako 0.
ime Schläfli{p,q,r} Coxeter celice {p,q} stranske ploskve {p} robovi {r} oglišča {q,r} dualni politop {r,q,p} 5-celica(4-simpleks)(pentahoron) {3,3,3} 5{3,3} 10{3} 10 {3} 5 {3,3} (sebi) 8-celica(4-kocka)(teserakt) {4,3,3} 8 {4,3} 24 {4} 32 {3} 16 {3,3} 16-celica 16-celica(4-ortopleks) {3,3,4} 16 {3,3} 32 {3} 24 {4} 8 {3,4} teserakt 24-celica {3,4,3} 24 {3,4} 96 {3} 96 {3} 24 {4,3} (sebi) 120-celica {5,3,3} 120 {5,3} 720 {5} 1200 {3} 600 {3,3} 600-celica 600-celica {3,3,5} 600 {3,3} 1200 {3} 720 {5} 120 {3,5} 120-celica
5-celica 8-celica 16-celica 24-celica 120-celica 600-celica {3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}modeli za (Petrijev mnogokotnik) v poševni ortografski projekciji 105px 105px 105px 105px 105px 105pxortografske projekcije teles 105pxtetraederska ovojnica 105pxkockina ovojnica 105pxkockinaovojnica 105pxkubooktaederskaovojnica 105pxovojnica prisekanega rombskega triakontaedra 105pxheksakisov popravljeni prirezani oktaeder modeli prikazani v Schleglovih diagramih (projekcija v perspektivi) 105px(središče celice) 105px(središče celice) 105px(središče celice) 105px(središče celice) 105px(središče celice) 105px(središče celice)modeli prikazani v stereogafskih projekcijah (3-sfera|hipersferna) 105px 105px 105px 105px 105px 105px
Degenerirani pravilni politopi (sferni) v štirih razsežnostih
Ditopi in hozotopi obstajajo kot pravilna teselacija 3 sfere.
Pravilni ditopi (imajo po dve faceti) so {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p,2,2}.
Nekoveksni pravilni politopi v štirih razsežnostih
Obstaja deset pravilnih štirirazsežnih zvezdnih politopov, ki se jih lahko imenuje Schläfli-Hessovi politopi. Njihova oglišča so osnovana na konveksnih 120-celicah ({5, 3, 3}) in 600-celicah ({3, 3, 5})
ime mreža telo Schläflijev simbol{p, q,r}Coxeter-Dinkinov diagram celice{p, q} stranske ploskve{p} robovi{r} oglišča{q, r}gostota χsimetrijska grupa dualni{r, q,p} ikozaederska 120-celica 75px 75px {3,5,5/2} 120{3,5}25px 1200{3}25px 720{5/2}25px 120{5,5/2}25px 4 480 H4 mala zvezdna 120-celica mala zvezdna 120-celica 75px 75px {5/2,5,3} 120{5/2,5}25px 720{5/2}25px 1200{3}25px 120{5,3}25px 4 −480 H4 ikozaederska 120-celica velika 120-celica 75px 75px {5,5/2,5} 120{5,5/2}25px 720{5}25px 720{5}25px 120{5/2,5}25px 6 0 H4 sebi dualni imenitna 120-celica 75px 75px {5,3,5/2} 120{5,3}25px 720{5}25px 720{5/2}25px 120{3,5/2}25px 20 0 H4 velika zvezdna 120-celica velika zvezdna 120-celica 75px 75px {5/2,3,5} 120{5/2,3}25px 720{5/2}25px 720{5}25px 120{3,5}25px 20 0 H4 imenitna 120-celica imenitna zvezdna 120-celica 75px 75px {5/2,5,5/2} 120{5/2,5}25px 720{5/2}25px 720{5/2}25px 120{5,5/2}25px 66 0 H4 sebi dualni velika imenitna 120-celica 75px 75px {5,5/2,3} 120{5,5/2}25px 720{5}25px 1200{3}25px 120{5/2,3}25px 76 −480 H4 velika ikozaederska 120-celica velika ikozaederska 120-celica 75px 75px {3,5/2,5} 120{3,5/2}25px 1200{3}25px 720{5}25px 120{5/2,5}25px 76 480 H4 velika imenitna 120-celica imenitna 600-celica 75px 75px {3,3,5/2} 600{3,3}25px 1200{3}25px 720{5/2}25px 120{3,5/2}25px 191 0 H4 velika imenitna zvezdna 120-celica velika imenitna zvezdna 120-celica 75px 75px {5/2,3,3} 120{5/2,3}25px 720{5/2}25px 1200{3}25px 600{3,3}25px 191 0 H4 imenitna 600-celica
Teselacija evklidskega trirazsežnega prostora 200px|thumb|Pogled skozi mrežo kockinega satovja{4,3,4}.
Obstaja samo ena pravilna teselacija v trirazsežnem prostoru.
Teselacija hiperboličnega trirazsežnega prostora
Teselacija hiperboličnega trirazsežnega prostora se imenuje hiperbolično satovje. Znana so štiri pravilna satovje v H3.
imeSchläflisimbol{p,q,r}Coxetercelicatype{p,q}stranska ploskevtype{p}slikarobov{r}slikaoglišč{q,r}χdualniikozaedrsko satovje{3,5,3}{3,5}{3}{3}{5,3}0sebi dualenred-5 kockino satovje{4,3,5}{4,3}{4}{5}{3,5}0{5,3,4}red-4 dodekaedersko satovje{5,3,4}{5,3}{5}{4}{3,4}0{4,3,5}red-5 dodekaedersko satovje{5,3,5}{5,3}{5}{5}{3,5}0sebi dualno
Prikazanih je nekaj projekcij: Prva prikazuje pogled iz središča v Beltrami-Kleinovem modelu. Druga in tretja slika kažejo pogled od zunaj z uporabo Poincarèjevega modela žoge. 200px{5,3,4}(8 dodekaedrov pri oglišču)200px{4,3,5}(20 kock pri oglišču)200px{3,5,3}(12 ikozaedrov a oglišču)
Pravilni politopi v petih in višjih razsežnostih
V nadaljevanju so opisani pet in višjerazsežni politopi. V petih razsežnostih se lahko pravilni politop prikaže s Schläflijevim simbolom v obliki {p, q, r, s}, kjer so {p, q, r,} hipercelice (teroni), stranske ploskve imajo tip {p}, slika stranskih ploskev je {s}, slika robov je {r, s}, slika oglišč pa je {q, r, s}.
5-politop se imenuje tudi politeron, če pa je neskončen, se imenuje satovje.
slika oglišč 5-politopa je polihoron, ki ga vidimo kot razporeditev oglišč okoli vsakega oglišča posebej. slika robov 5-politopa je polieder kot se vidi razporeditev oglišč okoli vsakega oglišča slika stranskih ploskev 5-politopa je mnogokotnik kot se vidi razporeditev celic okoli vsake stranske ploskve.
Konveksni pravilni politopi v petih razsežnostih