Znamenita točka trikotnika (tudi posebna ali značilna točka trikotnika ali središče trikotnika) je točka v ravnini, kjer se sekajo posebne premice ali tudi krožnice. Te točke imajo zanimive geometrijske lastnosti.
Prve znamenite točke trikotnika so odkrili že stari Grki, čeprav jih niso nikoli primerno definirali. Za njimi so odkrili še celo vrsto znamenitih točk trikotnika kot so Fermatova točka, simedianska točka, Feuerbachova točka, Gergonnova točka itd. Med porastom zanimanja za geometrijo trikotnika v letih 1980 so opazili, da imajo znamenite točke nekatere zanimive lastnosti, ki dandanes tvorijo osnovo definicije znamenitih točk trikotnika. Vse točke so sedaj zbrane v Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) (Enciklopedija znamenitih točk trikotnika), kjer je bilo 26.maja 2010 navedenih 3587 znamenitih točk trikotnika. Vsako od teh središč (točk) je dobilo svoje enolično ime in oznako, ki jo sestavljata X in kot indeks zaporedna številka iz Enciklopedije. Kadar pa ni bilo možno za točko dati neko zgodovinsko ali geometrijsko ime, so uporabili imena zvezd za poimenovanje posebnih točk trikotnika.
Definicija Realna funkcija treh spremenljivk ima naslednje lastnosti: homogenost za poljubno konstanto ter za vse bisimetrijo v drugi in tretji spremenljivki .
Kadar ima neničelna funkcija obe zgornji lastnosti, jo imenujemo funkcija znamenite točke trikotnika. Kadar je funkcija znamenite točke trikotnika in so dolžine stranic pripadajočega trikotnika, potem se točka, ki ima trilinearne koordinate imenuje znamenita točka trikotnika.
Nekatere znane znamenite točke trikotnika Klasične posebne točke trikotnika mesto vETC ime oznaka trilinearni koordinatni sistem X1 središče včrtane krožnice I 1 : 1 : 1 X2 težišče G bc : ca : ab X3središče očrtane krožnice O cos A : cos B : cos C X4 višinska točka H sec A : sec B : sec C X5 središče krožnice devetih točk N cos(B − C) : cos(C − A) : cos(A − B) X6 simedianska točka K a : b : c X7 Gergonnova točka Ge bc/(b + c − a) : ca/(c + a − b) : ab/(a + b − c) X8 Nagelova točka Na (b + c − a)/a : (c + a − b)/b: (a + b − c)/c X9 mittenpunkt M b + c − a : c + a − b : a + b − c X10 Spiekerjeva točka Sp bc(b + c) : ca(c + a) : ab(a + b) X11 Feuerbachova točka F 1 − cos(B − C) : 1 − cos(C − A) : 1 − cos(A − B) X13 Fermatova točka X csc(A + π/3) : csc(B + π/3) : csc(C + π/3) * X15 X16 izodinamični točki SS′ sin(A + π/3) : sin(B + π/3) : sin(C + π/3) sin(A − π/3) : sin(B − π/3) : sin(C − π/3) X17 X18 Napoleonove točke NN′ sec(A − π/3) : sec(B − π/3) : sec(C − π/3) sec(A + π/3) : sec(B + π/3) : sec(C + π/3) X99 Steinerjeva točka S bc/(b2 − c2) : ca/(c2 − a2) : ab/(a2 − b2) (*) : to je prvi izogonski center, tudi Fermatova točka, če je A,B,C ≤ 2π/3
Novejše posebne točke trikotnika V naslednjem delu preglednice so podane novejše posebne točke trikotnika.
mesto (oznaka) v ETC ime funkcija znamenite točke f(a,b,c) X21 1/(cos B + cos C) X22 Exeterjeva točka a(b4 + c4 − a4) X111 Parryjeva točka a/(2a2 − b2 − c2) X173 tan(A/2) + sec(A/2) X174 Yff središče kongruence sec(A/2) X175 izoperimetrična točka − 1 + sec(A/2) cos(B/2) cos(C/2) X179 prva Ajima–Malfattijeva točka sec4(A/4) X181 Apolonijeva točka a(b + c)2/(b + c − a) X192 točka enakih vzporednic bc(ca + ab − bc) X356 Morleyjevo središče cos(A/3) + 2 cos(B/3) cos(C/3) X360 Hofstadterjeva točka A/a X401 Baileyjeva točka [sin(2B) sin(2C) − sin2(2A)] csc A.
Splošne oblike znamenitih točk trikotnika Kinberlingova znamenita točka Clark Kimberling (rojen 1942) je pripravil enciklopedijo več kot 3500 znamenitih točk trikotnika. Te točke v njegovo čast imenujemo Kimberlingove znamenite točke Kimberlingove točke na MathWorld .
Polinomska znamenita točka Znamenita točka trikotnika se imenuje polinomska znamenita točka trikotnika, če lahko trilinearne koordinate točke izrazimo kot polinom koordinat a, b in c.
Glavne znamenite točke Znamenita točka trikotnika se imenuje glavna znamenita točka trikotnika, če lahko trilinearne koordinate izrazimo v obliki tako, da je funkcija vrednosti A. Podobno velja za in Glavne znamenite točke trikotnika na MathWorld
Običajne znamenite točke Znamenita točka trikotnika se imenuje običajna znamenita točka trikotnika, kadar trilinearne koordinate lahko izrazimo kot polinome vrednosti Δ, a, b in c, kjer je Δ ploščina trikotnika
Transcendentne znamenite točke Znamenita točka trikotnika je transcendentna znamenita točka, če točke ne moremo predstaviti s trilinearnimi koordinatami oziroma samo z uporabo algebrskih funkcij za .
Opombe in sklici
Zunanje povezave Posebna točka trikotnika na MathWorld Enciklopedija središč trikotnika Središča trikotnika na MathWorld Središča trikotnika na PlanetMath Središča trikotnika
Kategorija:Trikotniki Kategorija:Geometrija trikotnika