Funktor je v teoriji kategorij posebna vrsta preslikav med kategorijami. Funktorje si lahko predstavljamo kot homomorfizme med kategorijami oziroma kot morfizme v kategoriji majhnih kategorij.
Funktorje so najprej obravnavali v algebrski topologiji, kjer so algebrski objekti povezani v topološke prostore.
Izraz funktor je izposojen od v Nemčiji rojenega filozofa Rudolfa Carnapa (1891 – 1970), ki pa je izraz uporabljal v lingvističnem okolju. Carnap, The Logical Syntax of Language, p.13-14, 1937, Routledge & Kegan Paul
Definicija
Naj bosta in kategoriji. Funktor iz v je preslikava Jacobson (2009), stran 19, def. 1.2. ,zuje vsak morfizem z morfizmom tako, da veljata naslednji trditvi za vsak objekt za vse morfizme in .
To pa pomeni, da mora funktor ohranjati morfizem identičnosti in kompozitum morfizmov.
Kovariantnost in kontravariantnost
Običajne funktorje imenujemo kovariantni funktorji.
V matematiki je znanih več načinov izgrajevanja funktorjev za katere je značilno, da obrnejo morfizem ali pa obrnejo kompozitum. Te vrste funktorjev imenujemo kontravariantni funktorji. Če je funktor iz v kot preslikava za katero velja zuje vsak morfizem z morfizmom tako, da veljata naslednji trditvi za vsak objekt za vse morfizme in .
Kontravariantne funktorje imenujemo tudi kofunktorji.
Bifunktorji in multifunktorji
Bifunktorje imenujemo tudi binarne funktorje. To so funktorji dveh argumentov.
Multifunktorji so posplošitev pojma funktor na .
Zgledi
Naštetih je nekaj zgledov funktorjev: Konstantni funktor: Funktor, ki preslika () vsak objekt iz v fiksni objekt v . Endofunktor je funktor, ki preslika kategorijo v sebe. Identični funktor preslika objekt v sebe in morfizem v sebe. Diagonalni funktor, ki je definiran kot funktor s preslikavo iz v funktorsko kategorijo , ki vsakemu objektu v priredi konstantni funktor temu objektu.
Opombe in sklici
Zunanje povezave
Funktor na MaFiRa Funktor na PlanetMath Funktor