thumb|right|220px|Vzporedni odseki ravnine z enako usmerjenostjo in površino, ki ustrezajo istemu bivektorju . Bivektor (tudi 2-vektor) je matematična količina v geometrijski in Grassmanovi (zunanji) algebri), ki posplošuje pojem skalarja in vektorja. Skalar ima ničelno razsežnost, vektor je enorazsežna usmerjena količina, bivektor pa je dvorazsežna usmerjena količina. Bivektorji se rabijo na mnogih področjih matematike in fizike. Povezani so s kompleksnimi števili v dveh razsežnostih ter s psevdovektorji in vektorskimi kvaternioni v treh razsežnostih. Rabijo se lahko za generiranje zasukov (vrtenj, rotacij) v prostoru poljubnega števila razsežnosti in so uporabno orodje za razvrščanje takšnih zasukov.
Enostavni bivektor se geometrijsko lahko predstavlja kot usmerjeni odsek (segment) ravnine. Podobno se lahko vektor predstavlja kot usmerjeno daljico. Pri tem ima bivektor lego (ali smer) ravnine, ki jo ločujeta in , ima površino, ki je skalarni mnogokratnik poljubnega odseka referenčne ravnine z enako lego (in v geometrijski algebri ima velikost enako površini paralelograma s stranicama in ), in ima usmerjenost, ki je stranica , na kateri leži znotraj ravnine, ki jo ločujeta in . Poenostavljeno povedano, vsaka ploskev definira isti bivektor, če je vzporedna z isto ravnino (enaka lega), ima enako površino in enako usmerjenost (glej sliko). Podobno kot se lahko vektor premika po premici, se lahko bivektor premika po ravnini in se pri tem bivektor ne spremeni.
Bivektorji nastanejo pri zunanjem produktu dveh vektorjev. Za dva dana vektorja in se dobi bivektor kot njun zunanji produkt , tako kot vsaka vsota bivektorjev. Vseh bivektorjev ni mogoče izraziti kot zunanji produkt brez take vsote. Bivektorji, ki se jih lahko izrazi kot samo en zunanji produkt, se imenujejo enostavni bivektorji. V dveh in treh razsežnostih so vsi bivektorji enostavni, v več razsežnih prostorih to ni vedno res. Zunanji produkt dveh vektorjev je alternirajoči (izmenični), zato je ničelni bivektor in , kar povzroči nasprotno usmerjenost. Koncepta, ki sta neposredno povezana z bivektorjem, sta antisimetrični tenzor ranga 2 in poševnosimetrična matrika.
Zgodovina
Bivektor je leta 1844 prvi definiral nemški matematik Hermann Günther Grassmann (1809–1877) v zunanji algebri kot rezultat zunanjega produkta dveh vektorjev. Leta 1843 je irski fizik, astronom in matematik William Rowan Hamilton (1805–1865) odkril kvaternione. Hamilton je skoval obe besedi tako vektor kot bivektor, slednjega pa v svojih Predavanjih o kvaternionih (Lectures on Quaternions, 1853), ko je uvedel bikvaternione, ki imajo za svoje vektorske dele bivektorje.
Angleški matematik William Kingdon Clifford (1845–1879) je leta 1888 združil Grassmanovo zunanjo algebro in Hamiltonove kvaternione.Cliffordova algebra Grassmannovi algebri je dodal geometrični produkt, pri čemer je vključil Hamiltonove in Grassmannove zamisli ter utemeljil Cliffordovo algebro, iz katere se je pojavil bivektor, o katerem je govora v tem članku. Henry Forder (1889–1981) je leta 1941 rabil izraz bivektor za razvoj zunanje algebre.
V 1890-ih sta Josiah Willard Gibbs (1839–1903) in Oliver Heaviside (1850–1925) razvila vektorski račun, ki je vključeval ločena vektorski produkt in skalarni produkt, izpeljan iz množenja kvaternionov. Uspeh vektorskega računa in knjige Vektorska analiza (Vector Analysis) Gibbsa in Edwina Bidwella Wilsona (1879–1964) iz leta 1901 je povzročil, da so bila Hamiltonova in Cliffordova spoznanja dolgo časa spregledana, saj je bil velik del matematike in fizike 20. stoletja formuliran v vektorskih izrazih. Gibbs je rabil vektorje za zapolnitev vloge bivektorjev v treh razsežnostih in bivektor v Hamiltonovem smislu, kar je bila včasih kopirana raba.
Sedaj se bivektorji v veliki meri proučujejo kot tema v geometrijski algebri Cliffordovi algebri nad realnimi ali kompleksnimi vektorskimi prostori z neizrojeno kvadratno formo. Ponovni vzpon bivektorjev je vodil David Hestenes (rojen 1933), ki je skupaj z drugimi rabil geometrijsko algebro za vrsto novih rab v fiziki.
Izpeljava
V tem članku bo bivektor obravnavan le v realnih geometrijskih algebrah, ki jih je mogoče rabiti na večini področij fizike. Poleg tega imajo vsi primeri, razen če ni navedeno drugače, evklidsko metriko in s tem pozitivno definitno kvadratno formo.
Geometrijske algebre in geometrični produkt
Bivektor izhaja iz definicije geometričnega produkta nad vektorskim prostorom s pripadajočo kvadratno formo, ki se včasih imenuje metrika. Za vektorje , in geometrični produkt izpolnjuje naslednje lastnosti:
asociativnost:
leva in desna distributivnost:
skalarni kvadrat:
, kjer je kvadratna forma, ki ni treba da je pozitivno definitna.
Skalarni produkt
Iz asociativnosti sledi , kar je skalar pomnožen z . Kadar ni vzporeden z in zato ni skalarni mnogokratnik , tako da produkt ne more biti skalar. Vendar je:
vsota skalarjev in zato je skalar. Iz kosinusnega izreka za trikotnik, ki ga tvorita vektorja, je njegova vrednost enaka , kjer je kot med vektorjema. Zato je enak skalarnemu produktu med dvema vektorjema in se zapiše na enak način:
Je simetričen, ima skalarne vrednosti in se lahko rabi za določanje kota med dvema vektorjema. Če sta in pravokotna, je njun skalarni produkt enak nič.
Zunanji produkt
Tako kot se lahko skalarni produkt formulira kot simetrični del geometričnega produkta druge količine, se lahko zunanji produkt (včasih znan kot »klinasti« ali »progresivni« produkt) formulira kot njegov antisimetrični del:
Je antisimetričen v in :
in s seštevanjem sledi:
To pomeni, da je geometrični produkt vsota simetričnega skalarnega produkta in alternirajočega zunanjega produkta.
Za preučitev narave se pogleda formulo:
kar z rabo pitagorejske trigonometrične identitete da vrednost za :
Z negativnim kvadratom ne more biti skalarna ali vektorska količina, zato je to nova vrsta objekta »bivektor«. Ima velikost , kjer je kot med vektorjema in je za vzporedna vektorja enak nič.
Da se jih loči od vektorjev, so bivektorji tukaj zapisani s krepkimi velikimi tiskanimi črkami, na primer:
čeprav se rabijo tudi drugi dogovori, zlasti ker sta vektorja in bivektorja elementa geometrijske algebre.
Lastnosti
Algebra, ki jo generira geometrični produkt (torej vsi objekti, ki nastanejo z vsoto in geometričnimi produkti skalarjev in vektorjev), je geometrijska algebra nad vektorskim prostorom. Za evklidski vektorski prostor se ta algebra zapiše kot ali , kjer je razsežnost vektorskega prostora . je tako vektorski prostor in algebra, generirana z vsemi produkti med vektorji v , zato vsebuje vse vektorje in bivektorje. Natančneje, kot vektorski prostor vsebuje vektorje in bivektorje kot linearne podprostore, ne pa kot podalgebre (ker geometrični produkt dveh vektorjev v splošnem ni drug vektor).
Prostor ⋀2Rn
Prostor vseh bivektorjev ima razsežnost in se zapiše kot , ter je druga zunanja potenca prvotnega vektorskega prostora.
Soda podalgebra
Podalgebra, ki jo generirajo bivektorji, je soda podalgebra geometrijske algebre, zapisana kot . Ta algebra izhaja iz obravnave vseh ponavljajočih se vsot in geometričnih produktov skalarjev in bivektorjev. Ima razsežnost in vsebuje kot linearni podprostor. V dveh in treh razsežnostih soda podalgebra vsebuje samo skalarje in bivektorje, in vsak od njih je še posebej zanimiv. V dveh razsežnostih je soda podalgebra izomorfna kompleksnim številom , medtem ko je v treh izomorfna kvaternionom . Soda podalgebra vsebuje zasuke v poljubni razsežnosti.
Velikost
Kot je bilo omenjeno v prejšnjem razdelku, je velikost enostavnega bivektorja, torej tistega, ki je zunanji produkt dveh vektorjev in , enaka , kjer je kot med vektorjema. Zapiše se kot , kjer je bivektor.
Za splošne bivektorje se lahko velikost izračuna tako, da se vzame normo bivektorja, ki se ga obravnava kot vektor v prostoru . Če je velikost enaka nič, so vse komponente bivektorja enake nič, bivektor pa je ničelni bivektor, ki je kot element geometrijske algebre enak skalarni ničli.
Enotski bivektorji
Enotski bivektor je bivektor z enotsko velikostjo. Takšen bivektor se lahko dobi iz poljubnega neničelnega bivektorja tako, da se bivektor deli z njegovo velikostjo, torej:
Posebej uporabni so enotski bivektorji, tvorjeni iz produktov standardne baze vektorskega prostora. Če sta in različna bazna vektorja, potem je produkt . Ker sta in , je , zapisano kot , in ima enotsko velikost, saj sta vektorja enotska vektorja. Množica vseh bivektorjev, oblikovanih iz baze na ta način, tvori bazo za . Na primer, v štirih razsežnostih je baza za enaka ali .
Enostavni bivektorji
Zunanji produkt dveh vektorjev je bivektor, vendar obratno ne velja, ker niso vsi bivektorji zunanji produkti dveh vektorjev. Na primer, v štirih razsežnostih se bivektorja:
ne da zapisati kot zunanji produkt dveh vektorjev. Bivektor, ki se ga lahko zapiše kot zunanji produkt dveh vektorjev, je enostaven. V dveh in treh razsežnostih so vsi bivektorji enostavni, ne pa v štirih ali več razsežnostih v štirih razsežnostih je vsak bivektor vsota največ dveh zunanjih produktov. Bivektor ima realni kvadrat, če in samo če je enostaven, in le enostavne bivektorje se lahko geometrijsko predstavi z usmerjeno ravnino.
Produkt dveh bivektorjev
Geometrični produkt dveh bivektorjev in je:
Količina je skalarni produkt s skalarno vrednostjo, medtem ko je zunanji produkt 4. stopnje, ki se pojavi v štirih ali več razsežnostih. Količina je bivektorski komutatorski produkt, podan z:
Prostor bivektorjev je Liejeva algebra nad s komutatorskim produktom kot Liejevim oklepajem. Polni geometrični produkt bivektorjev generira sodo podalgebro.
Posebej zanimiv je produkt bivektorja s samim seboj. Ker je komutatorski produkt antisimetričen, se tak produkt poenostavi v:
Če je bivektor enostaven, je zadnji člen nič, produkt pa ima skalarno vrednost , kar se lahko rabi kot preverjanje enostavnosti. Še posebej zunanji produkt bivektorjev obstaja le v štirih ali več razsežnostih, zato so vsi bivektorji v dveh in treh razsežnostih enostavni.
Splošni bivektorji in matrike
Bivektorji so izomorfni poševnosimetričnim matrikam v poljubnem številu razsežnosti. Splošni bivektor v treh razsežnostih se na primer preslika v matriko:
To pomnoženo z vektorji na obeh straneh daje enak vektor kot produkt vektorja in bivektorja minus zunanji produkt zgled je tenzor kotne hitrosti:
Poševnosimetrične matrike generirajo ortogonalne matrike z determinanto enako 1 prek eksponentnega preslikavanja. Še posebej raba eksponentnega preslikavanja na bivektorju, ki je povezan z zasukom, da matriko zasukov. Matrika zasukov , ki jo podaja zgornja poševnosimetrična matrika, je:
Zasuk, ki ga opisuje , je enako vrtenju, ki ga opisuje rotor , podan kot:
matriko pa je mogoče izračunati tudi neposredno iz rotorja . V treh razsežnostih je to podano z izrazom:
Bivektorji so povezani z lastnimi vrednostmi matrike zasukov. Glede na matriko zasukov se lahko lastne vrednosti izračuna z reševanjem karakteristične enačbe za to matriko:
Po osnovnem izreku algebre ima ta matrika tri korene (od katerih je le en realen, saj obstaja samo en lastni vektor os zasuka). Druga korena morata biti konjugirano kompleksni par. Imata enotsko velikost, zato sta to zgolj imaginarna logaritma, enaka velikosti bivektorja, povezanega z zasukom, ki je tudi kot zasuka. Lastni vektorji, povezani s kompleksnimi lastnimi vrednostmi, so v ravnini bivektorja, zato zunanji produkt dveh nevzporednih lastnih vektorjev da bivektor (ali njegov mnogokratnik).
Dve razsežnosti
Pri delu s koordinatami v geometrijski algebri je običajno, da se bazne vektorje zapiše kot ), kar se tukaj uporabi tudi v dogovoru.
Vektor v realnem dvorazsežnem prostoru se lahko zapiše kot , kjer sta in realni števili, in pa ortonormalna bazna vektorja. Geometrični produkt dveh takih vektorjev je: