Kroneckerjev produkt

Kroneckerjev produkt (oznaka ) je operacija, ki se izvaja na dveh matrikah poljubne velikosti, in daje bločno matriko. Kroneckerjevega produkta se ne sme zamenjevati z običajnim množenjem matrik. Kroneckerjev produkt daje matriko tenzorskega produkta.

Imenuje se po nemškem matematiku in logiku Leopoldu Kroneckerju (1823–1891), čeprav ni dokazov, da ga je prvi uporabljal.

Definicija

Naj bo matrika z razsežnostjo in naj bo z razsežnostjo , potem je Kroneckerjev produkt bločna matrika z razsežnostjo :

.

Bolj točno je to enako:

.

Če sta in linearni transformaciji in , potem je tenzorski produkt dveh preslikav .

Zgledi

.

.

Lastnosti

Kroneckerjev produkt je posebni primer tenzorskega produkta:

. kjer je matrika matrika matrika skalar

Komutativnost

Kroneckerjev produkt ni komutativen. To pomeni da sta matriki in različni. To se zapiše kot :. Sta pa obe matriki permutacijsko ekvivalentni. To pomeni, da obstajata dve matriki in tako, da je:

.

Č e pa sta matriki in kvadratni, potem sta ali pa permutacijsko podobni, kar pomeni, da je .

Mešani produkt

Če so matrike , , in takšne, da se lahko določi in , potem velja tudi:

.

Transponiranje

Transponiranje Kroneckerjevega produkta da:

.

Druge lastnosti

konjugiranje komplesne matrike da:

.

adjungirana matrika je enaka:

sled je za kvadratne matrike enaka:

za rang velja:

če ima matrika razsežnost in matrika razsežnost , potem za determinanto velja:

če so lastne vrednosti matrike in lastne vrednosti matrike , potem so:

lastne vrednosti matrike

kadar sta matriki in obrnljivi velja tudi:

kadar imajo matrike in razsežnosti:

in sta matriki in definirani, potem velja.

Sklici

Viri

Zunanje povezave

Kroneckerjev produkt na MathWorld Kroneckerjev produkt Kroneckerjev produkt na PlanethMath

Kategorija:Teorija matrik Kategorija:Linearna algebra Kategorija:Matrike Kategorija:Leopold Kronecker