sličica|Aritmetične tablice za otroke, Lausanne, 1835 Aritmetika (iz grščine ἀριθμός arithmos, 'število' in τική τέχνη, tiké [téchne], 'umetnost' ali 'spretnost') je veja matematike, ki je sestavljena iz proučevanja števil, zlasti z značilnostmi tradicionalnih operacije nad njimi – seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, potenciranje in korenjenje. Aritmetika je elementarni del teorije števil, šteje pa se, da je teorija števil skupaj z algebro, geometrijo in analizo eden od področij sodobne matematike najvišjega nivoja. Izraza aritmetika in višja aritmetika sta se uporabljala do začetka 20. stoletja kot sopomenki za teorijo števil, včasih pa ju še vedno uporabljajo za sklicevanje na širši del teorije števil.Davenport, Harold, The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers (7th ed.), Cambridge University Press, Cambridge, 1999, .
Zgodovina Aritmetika je ena od dveh najstarejših panog matematike (druga je geometrija). Pojem števila je verjetno prvi abstraktni pojem, ki se je izoblikoval pri naših prednikih.
Predzgodovina aritmetike je omejena na majhno število artefaktov, ki lahko kažejo na pojem seštevanja in odštevanja, najbolj znana je Kost Ishango iz osrednje Afrike, ki sega od nekje med 20.000 in 18.000 pr.n.št., čeprav se s to razlago ne strinjajo vsi.
Najstarejši pisni zapisi kažejo, da so Egipčani in Babilonci že leta 2000 pr.n.št. uporabljali vse elementarne aritmetične operacije. Ti artefakti ne razkrivajo procesa, ki se je uporabljal za reševanje problemov, ampak značilnosti določenega številskega sistema močno vplivajo na kompleksnost metod. Hieroglifni sistem za egipčanske številke, tako kot poznejše rimske številke, izvira iz števnih oznak, ki so se uporabljali za štetje. V obeh primerih je ta izvor imel za rezultat vrednosti, ki so uporabljale desetiško osnovo, vendar niso vključevale pozicijsko notacijo. Kompleksni izračuni z rimskimi številkami so za pridobitev rezultatov potrebovali pomoč mize za štetje (ali rimskega abaka).
Zgodnji številski sistemi, ki so vključevali pozicijsko notacijo, niso bili decimalni, vključno s šestdestiškim (osnova 60) sistemom za babilonske številke in dvajsetiškim (osnova 20) sistemom, ki se je uporabljal v majevskih številkah. Zaradi tega koncepta mestne vrednosti je zmožnost ponovne uporabe enakih številk za različne vrednosti prispevala k enostavnejšim in učinkovitejšim metodam izračuna.
Rhindov papirus, ki izvira približno iz leta 1650 pr. n. št. vendar pa je očitno prepis starejšega teksta, kaže, da so stari Egipčani obvladali osnovne računske operacije s celimi števili, pa tudi z ulomki. Egipčani so zlasti radi preoblikovali necela števila v vsoto ulomkov s števcem 1.
Neprekinjen zgodovinski razvoj sodobne aritmetike se začne s Helenistično civilizacijo v stari Grčiji. Pred Evklidom okoli 300 pr.n.št., so se grške študije matematike prekrivale s filozofskimi in mističnimi prepričanji. Na primer, Nikomah je v svojem Uvodu v aritmetiko povzel stališče zgodnejšega pitagorejskega pristopa do števil in njihovih medsebojnih odnosov.
Grške številke so uporabljali Arhimed, Diofant in drugi v pozicijskem zapisu, ki se ne razlikuje veliko od sodobnega zapisa. Stari Grki do helenističnega obdobja niso imeli simbola za ničlo in so za števke uporabljali tri ločene nabore simbolov: en nabor za mesto enot, enega za mesto desetice in enega za stotice. Za mesto tisočice bi znova uporabili simbole za mesto enot itd. Njihov algoritem seštevanja je bil enak sodobni metodi, algoritem množenja pa se je razlikoval le malo. Algoritem pisnega deljenja je bil enak, algoritem kvadratnega korena, ki so ga uporabljali že v 20. stoletju, pa je bil znan Arhimedu (ki ga je morda tudi izumil).
Stari Kitajci so imeli napredne aritmetične študije iz časov dinastije Shang in so se nadaljevale skozi dinastijo Tang, od osnovnih številk do napredne algebre. Stari Kitajci so uporabljali pozicijsko notacijo, ki je bila podobna grški. Ker tudi pri njih ni bilo simbola za nič, so imeli en nabor simbolov za mesto enot in drugi nabor za desetice. Za stotice so nato ponovno uporabili simbole za mesto enot itd. Natančen čas, ko so Kitajci začeli računati s pozicijsko notacijo, ni znan, čeprav je znano, da se je začela pred 400 pr.n.št.Joseph Needham, Science and Civilization in China, Vol. 3, p. 9, Cambridge University Press, 1959. Stari Kitajci so prvi odkrili, razumeli in uporabili negativna števila. To je razloženo v Nine Chapters on the Mathematical Art (Jiuzhang Suanshu), ki jih je Lju Hui napisal v 2. stoletju pred našim štetjem.
Postopen razvoj indijsko arabskega številskega sistema je neodvisno vpeljal koncept vrednotenja mest in pozicijske notacije, ki je združil enostavnejše metode izračuna z decimalno osnovo in uporabo števke, ki predstavlja 0 . To je sistemu omogočilo, da dosledno predstavlja velika in majhna cela števila - pristop, ki je sčasoma nadomestil vse druge sisteme. V začetku 6-tega stoletja n.št. je indijski matematik Aryabhata v svoje delo vključil obstoječo različico tega sistema in eksperimentiral z različnimi zapisi. V 7. stoletju je Brahmagupta uveljavil uporabo 0 kot ločeno število in določil rezultate množenja, deljenja, seštevanja in odštevanja ničle in vseh drugih števil - razen rezultata deljenja z ničlo. Njegov sodobnik, sirski škof Severus Sebokht (650 n.št.), je dejal: "Indijci poznajo metodo izračuna, ki je nobena beseda ne more dovolj pohvaliti. Njihov racionalni matematični sistem ali njihova metoda izračuna. Mislim na sistem, ki uporablja devet simbolov. "Reference: Revue de l'Orient Chretien by François Nau pp. 327–338. (1929) Tudi Arabci so se naučili te nove metode in jo poimenovali hesab. sličica|200x200_pik|Leibnizev Stepped Reckoner je bil prvi kalkulator, ki je lahko izvedel vse štiri aritmetične operacije. Čeprav je Codex Vigilanus opisal zgodnjo obliko arabskih številk (brez 0) do 976 n.št., je bil Leonardo iz Pize (Fibonacci) v prvi vrsti odgovoren za širjenje njihove uporabe po Evropi po izidu njegove knjige Liber Abaci leta 1202. Zapisal je: "Metoda Indijcev (latinsko Modus Indorum) presega vse znane metode izračuna. To je čudovita metoda. Izračuni se izvedejo z devetimi številkami in simbolom nič".Reference: Sigler, L., "Fibonacci's Liber Abaci", Springer, 2003.
V srednjem veku je bila aritmetika ena od sedmih svobodnih umetnosti, ki jih poučujejo na univerzah.
Razcvet algebre v srednjeveškem islamskem svetu in tudi v renesančni Evropi je bil posledica velike poenostavitve računanja z desetiškim zapisom.
Za pomoč pri numeričnih izračunih so bile izumljene in se pogosto uporabljajo različne vrste orodij. Pred renesanso so bile to različne vrste abaka. Novejši primeri vključujejo logaritmska računalav, nomograme in mehanske kalkulatorje, na primer Pascalov kalkulator . Trenutno so jih nadomestili elektronski kalkulatorji in računalniki.
Aritmetične operacije
Osnovne aritmetične operacije so seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje, čeprav aritmetika vključuje tudi naprednejše operacije, kot so manipulacije z odstotki, kvadratne korene, potenciranje, logaritmične funkcije in celo trigonometrične funkcije. Aritmetične izraze je treba ovrednotiti glede na predvideno zaporedje operacij, ki edinstveno določijo vrstni red izvedbe. Vsak nabor objektov, na katerih je mogoče izvesti vse štiri aritmetične operacije (razen deljenja z ničlo) in kjer te štiri operacije spoštujejo običajne zakone (vključno z distributivnostjo), se imenuje polje.
Seštevanje
Seštevanje, označeno s simbolom , je najosnovnejša operacija aritmetike. V svoji preprosti obliki seštevanje združi dve številki, seštevanca ali sumanda v eno samo število, vsoto števil (na primer ali ).
Dodajanje končnega števila števil se lahko obravnava kot ponavljajoče se preprosto seštevanje; ta postopek je znan kot seštevanje, izraz, ki se uporablja tudi za "dodajanje neskončno veliko števil" v neskončnim vrstah. Ponavljajoče se dodajanje števila 1 je najosnovnejša oblika štetja; rezultat dodajanja se običajno imenuje naslednik prvotnega števila.
Seštevanje je komutativno in asociativno, zato vrstni red, v katerem je dodano končno veliko izrazov, ni pomemben.
Otrokom se pogosto predstavi tabela parov številk od 0 do 9. Če se ga zapomnijo, lahko izvedejo kateri koli seštevanje.
Število ima lastnost, da dodajanje kateremu koli številu da rezultat to isto število; torej je to nevtralni element za operacijo seštevanja ali aditivna identiteta.
Za vsako število obstaja število, označeno z , imenovano nasprotna vrednost od , tako da je in . Torej je nasprotje od inverzno od glede na seštevanje ali aditivno inverzno od . Na primer, nasprotje od je , saj je .
Seštevanje je mogoče razlagati tudi geometrijsko, kot je prikazano v sledečem primeru. Če imamo dve palici dolžin 2 in 5, potem, če sta palici poravnani ena za drugo, postane dolžina združene palice 7, saj je . +012345678900123456789112345678910223456789101133456789101112445678910111213556789101112131466789101112131415778910111213141516889101112131415161799101112131415161718
Odštevanje
Odštevanje, označeno s simbolom deluje obratno od seštevanja. Odštevanje ugotovi razliko (iferencca) med dvema številkama, s zmanjševanec (minuend) minus odštevanec (subtrahend):
Za pozitivne argumente velja in :
Če je minuend večji od subtrahenda, je razlika pozitivna. Če je minuend manjši od subtrahenda, je razlika negativna.
V vsakem primeru, če sta minuend in subtrahend enaka, je razlika
Odštevanje ni ne komutativno ne asociativno. Zato se konstrukcija te inverzne operacije v sodobni algebri pogosto opusti v prid uvedbi koncepta inverznih elementov (kot je orisano pod ), kjer se odštevanje obravnava kot seštevanje inverznega aditiva, subtrahenda v minuend, to je .
Množenje
Množenje, označeno s simboloma ali je druga osnovna operacija aritmetike. Množenje združi dve števili v eno število, tj. produkt. Dve izvorni števili se imenujeta množenec in množitelj, običajno obe preprosto imenujemo faktorja.
Množenje je mogoče obravnavati kot operacijo povečevanja. Če si števila predstavljamo, da ležijo na premici, je množenje s številom večjim od 1, recimo x, enako kot enakomerno raztezanje stran od 0, na tak način, da se število 1 razteza do mesta, kjer je bil x.
Množenje je komutativno in asociativno; je distributivno nad seštevanjem in odštevanjem. Nevtralni element za operacijo množenja je 1, množenje poljubnega števila z 1 pomeni isto število.
Deljenje
Deljenje, označeno s simboloma ali , je matematična operacija nasprotna množenju.Rezultat deljenja je količnik (kvocient) dveh števil, deljenca (dividend) deljenega z deliteljem (divizor). Vsak deljenec, ki je deljen z nič, ni definiran. Za različna pozitivna števila velja, da če je deljenec večji od delitelja, je količnik večji od 1, sicer je manjši ali enak 1 (podobno pravilo velja za negativna števila). Količnik pomnožen z deliteljem, vedno za rezultat da deljenec.
Deljenje ni niti komutativno niti asociativno. Deljenje je množenje z recipročno vrednostjo delitelja kot faktorja, to je
Osnovni izrek aritmetike
Osnovni izrek aritmetike pravi, da lahko vsako naravno število, večje od 1, zapišemo kot produkt praštevil, razen vrstnega reda množencev. Na primer, 252 ima samo en produkt praštevil:
252 = 2 × 3 × 7
Evklidovi Elementi so prvi predstavili ta izrek in dali delni dokaz (ki se imenuje Evklidova lema). Osnovni izrek aritmetike je prvi dokazal Carl Friedrich Gauss.
Osnovni izrek aritmetike je eden od razlogov, zakaj se 1 ne šteje za praštevilo. Drugi razlogi vključujejo Eratostenovo sito in sama definicija praštevila (naravno število večje od 1, ki ga ni mogoče oblikovati z množenjem dveh manjših naravnih števil).
Desetiška aritmetika se v splošnem nanaša na pisan številski sistem, ki se uporablja v arabskih številih in vsebuje števke osnove 10 ("desetiške") pozicijske notacije.