Poténčna vŕsta (ene spremenljivke) je v matematiki neskončna vrsta oblike:
kjer je an koeficient n-tega člena, a konstanta in x neodvisna spremenljivka okrog a. Vrsta po navadi nastane kot Taylorjeva vrsta kakšne znane funkcije.
V mnogih primerih je a enaka nič, na primer pri Maclaurinovi vrsti. Tedaj ima potenčna vrsta preprostejšo obliko:
Raba potenčnih vrst
Potenčne vrste se rabijo prvenstveno v analizi, pa tudi v kombinatoriki kot rodovne funkcije in elektrotehniki kot Z-transformacije. Tudi na splošno znani desetiški zapis celih števil se lahko gleda kot na potenčno vrsto, kjer je argument x določen kot 10. V teoriji števil je pojem p-adičnih števil v tesni zvezi s potenčnimi vrstami.
Zgledi potenčnih vrst
Elementarne funkcije
Vsak polinom se lahko razvije v potenčno vrsto okrog poljubne točke a, čeprav je točka največkrat kar 0. Polinom se lahko na primer zapiše kot potenčno vrsto s središčem a = 0 kot:
ali okrog središča kot:
ali v resnici okrog poljubnega središča a. Na potenčne vrste se lahko gleda kot na »polinome neskončne stopnje«, čeprav potenčne vrste niso polinomi.
Geometrična vrsta:
je eden najpomembnejših zgledov potenčnih vrst. Enako je pomembna tudi eksponentna funkcija:
Te potenčne vrste so tudi zgledi Taylorjevih vrst. Obstajajo potenčne vrste, ki niso Taylorjeve vrste nobene funkcije. Na primer:
Negativne potence v potenčnih vrstah ne nastopajo. Vrsta ni potenčna vrsta, je pa Laurentova vrsta. Podobno ne nastopajo potence z ulomki kot je . Takšni primeri so Puiseuxove vrste. Koeficienti ne smejo biti odvisni od spremenljivke . Tako na primer vrsta:
ni potenčna vrsta.
Drugi zgledi znanih potenčnih vrst elementarnih funkcij so:
logaritemski funkciji:
kvadratna korena:
kotne funkcije:
Neelementarne funkcije
S potenčnimi vrstami se lahko velikokrat lažje kot s Taylorjevimi vrstami razvije elementarne pa tudi neelementarne funkcije. Takšni zgledi so na primer eliptični integrali ali pa integral oblike:
ki ni elementaren. Funkcijo se razvije v potenčno vrsto:
Funkcija je v vsakem intervalu brez točke x = 0 enakomerno konvergentna in se jo lahko integrira po členih:
Konvergenčni polmer
Potenčne vrste lahko konvergirajo za nekatere vrednosti spremenljivke x (vsaj za x = a) ali pa divergirajo za druge vrednosti. Vedno obstaja takšno število r, 0 ≤ r ≤ ∞, da bo vrsta za |x − a| < r konvergirala in divergirala za |x − a| > r. Število r (tudi označbi R ali ) se imenuje konvergenčni polmer potenčne vrste. V splošnem je določen kot:
oziroma enakovredno (Cauchy-Hadamardova enačba):
(glej največja in najmanjša limita). Če limita obstaja, se jo lahko izračuna kot:
Glede konvergence potenčne vrste lahko nastopijo tri možnosti:
- potenčna vrsta absolutno konvergira in enakomerno konvergira na vsaki kompaktni podmnožici {x : |x − a| < r},
- potenčna vrsta divergira,
- v splošnem se ne da reči ali vrsta konvergira ali divergira. Abelov izrek trdi, da je vsota vrste zvezna v x, če vrsta konvergira v x.
Operacije s potenčnimi vrstami
Seštevanje in odštevanje
Kadar sta funkciji f in g razviti v potenčni vrsti okrog istega središča a, se lahko dobi vsoto ali razliko funkcij s seštevanjem ali odštevanjem po členih. Vsota funkcij, razvitih v potenčni vrsti:
je enaka:
Množenje in deljenje
Podobno je produkt in kvocient dveh funkcij, razvitih kot zgoraj:
Zaporedje je znano kot konvolucija zaporedja in .
Za kvocient je:
in se rabi produkt z upoštevanjem koeficientov.
Odvajanje in integriranje
Kadar je funkcija podana kot potenčna vrsta, je zvezna, če konvergira, in odvedljiva v notranjosti te množice. Lahko se jo brez težav odvaja ali integrira po členih:
Obe tako nastali vrsti imata enak konvergenčni polmer kot izvirna vrsta.
Zunanje povezave
Kategorija:Matematična analiza kategorija:Matematične vrste