Banachovo skrčitveno načelo je v matematiki pomemben izrek iz teorije metričnih prostorov. Zagotavlja obstoj in enoličnost fiksne točke za določene preslikave na metričnih prostorih. Podaja tudi postopek za približen izračun te fiksne točke. Izrek je poimenovan po Stefanu Banachu.
Izrek Uvodne opombe: Fiksna točka Točka je za preslikavo fiksna, če velja . Skrčitev Naj bo metrični prostor. Preslikava je skrčitev, če obstaja takšno pozitivno število , da za poljubna velja Poln metrični prostor Zaporedje elementov metričnega prostora je Cauchyjevo, če za vsak obstaja tak , da je za poljubna . Vsako konvergentno zaporedje je Cauchyjevo, obratno pa ni vedno res. Metrični prostor je poln, če je v njem vsako Cauchyjevo zaporedje konvergentno. Vemo, da sta in polna metrična prostora za običajno metriko.
Z zgoraj definiranimi pojmi se izrek glasi.
Intuicija
Izrek si lahko intuitivno predstavljamo z zemljevidom. Na zemljevid položimo njegovo pomanjšano kopijo, ki jo lahko razumemo kot skrčitev prvotnega zemljevida. Tedaj obstaja natanko ena točka, ki na obeh zemljevidih predstavlja isto lokacijo. Če zemljevida prebodemo z žebljičkom prav v tej točki, bo ta na obeh pokazal isto mesto.
Glej tudi Brouwerjev izrek o negibni točki
Kategorija:Matematični izreki Kategorija:Metrična geometrija