Eulerjeva vsota (tudi Eulerjeva sumacijska metoda) je v matematiki konvergentnih in divergentnih vrst sumacijska metoda. Je metoda za dodelitev vrednosti vrstam, ki se razlikuje od konvencionalne metode računanja limit delnih vsot. Če je dana vrsta:

in, če njena Eulerjeva transformacija konvergira k vsoti, se ta vsota imenuje Eulerjeva vsota izvirne vrste. Eulerjeva vsota se lahko poleg določanja vrednosti za divergentne vrste rabi za pospeševanje konvergence vrst.

Eulerjeva vsota se lahko posploši v družino metod označenih kot (E, q), kjer je q ≥ 0. Vsota (E, 1) je običajna Eulerjeva vsota. Vse te metode so strogo šibkejše od Borelove vsote; za q > 0 so neprimerljive z Abelovo vsoto.

Definicija

Za poljubno vrednost y se lahko definira Eulerjeva vsota (če za to vrednost y konvergira), ki odgovarja posebni formalni vsoti kot:

Če formalna vsota dejansko konvergira, bo Eulerjeva vsota enaka. Eulerjeva vsota se še posebej rabi za pospeševanje konvergence alternirajočih vsrt in včasih lahko da uporabno smiselno vrednost divergentnih vsot.

V opravičilo temu pristopu je treba poudariti, da se za medsebojno zamenjano vsoto Eulerjeva vsota skrči na začetno vrsto, ker velja:

Metoda sama se iterativno ne more izboljšati, saj velja:

Zgodovina

Euler je vpeljal transformacijo vrst leta 1755 v svojem delu Osnove diferencialnega računa (Institutiones calculi differentialis).. Dano vrsto je zapisal kot alternirajočo vrsto . Z nekaj formalnimi algebrskimi koraki je pokazal, da velja transformacija:

kjer je:

Tako je naprej:

Členi na desni transformacije običajno postnejo veliko manjši in to hitreje, kar omogoča hitro numerično seštevanje. Naj je . Če se uvedeta spremenljivki x in y, ki sta povezani kot:

velja:

Če se izbereta in , sledi:

kot je zahtevano..

Zgledi

če se za formalno vsoto vzame y = 1, se dobi če je polinom stopnje k. Pri tem bo notranja vsota enaka nič za , tako da bo v tem primeru Eulerjeva vsota skrčila neskončno vrsto v končno. na primer Grandijeva vrsta:

Tu je in posebej , ter za vse , tako da Eulerjeva transformacija da »pričakovani« rezultat 1/2:

ali vrsta:

Zaporedja razlik so , , , . Eulerjeva transformacija da vrsto . za vrsto 1 − 2 + 3 − 4 + ···:

je , in za vse , tako da je Eulerjeva vsota enaka . Euler je v Institutiones podal več zgledov. Na primer alternirajočo vrsto za trikotniška števila:

za kvadratna števila:

ali za četrte potence (bikvadratna ali teseraktna števila):.

posebna izbira zagotavlja eksplicitno reprezentacijo Bernoullijevih števil, ker je (Riemmanova funkcija ζ). Formalna vrsta v tem primeru dejansko divergira, ker je k pozitiven. Če se uporabi Eulerjeva vsota na funkcijo ζ (ali na sorodno Dirichletovo funkcijo η), bo veljalo , kar je analitična rešitev.

. Z ustrezno izbiro y (da je enak ali blizu ) ta vrsta konvergira k .

Značilnosti

Eulerjeva vsota je linearna in regularna. in tako spada med generične sumacijske metode.

Glej tudi

Borelova vsota Cesàrova vsota Lambertova vsota Perronova enačba abelovski in tauberski izreki Abel-Planova formula Abelova sumacijska formula van Wijngaardenova transformacija

Sklici

Viri

Kategorija:Matematične vrste Kategorija:Sumacijske metode Kategorija:Leonhard Euler Kategorija:1755 v znanosti