Racionalna vrsta zeta je v matematiki predstavitev poljubnega realnega števila z neskončno vrsto, ki vsebuje racionalna števila, z Riemannovo funkcijo ζ(s) ali Hurvitzevo funkcijo ζ(s, q). Posebej je za dano realno število racionalna vrsta ζ dana kot:

kjer je racionalno število, vrednost je fiksna, pa je Hurwitzeva funkcija ζ. Ni težko pokazati, da se na ta način lahko predstavi vsako realno število .

Elementarne vrste

Za celo število je:

Za ima več zanimivih števil preproste izraze kot racionalne vrste ζ:

in:

,

kjer je γ Euler-Mascheronijeva konstanta. Vrsta:

sledi iz vsote Gauss-Kuzminove porazdelitve. Obstajata tudi vrsti za število π:

in:

ki je pomembna zaradi hitre konvergence. Zadnja vrsta sledi iz splošne enakosti:

ki sledi iz rodovne funkcije za Bernoullijeva števila :

Adamchik in Srivastava sta podala podobno vrsto:.

Vrste povezane s funkcijo poligama

Iz Taylorjeve vste za funkcijo poligama v točki se lahko ipelje več dodatnih povezanih izrazov. Taylorejeva vrsta v tej točki je:

Vrsta konvergira za . Posebni primer je:

Tukaj je ψ funkcija digama, pa je funkcija poligama. Lahko se izpelje več vrst z binomskimi koeficienti:

kjer je kompleksno število. Izraz sledi iz razvoja v vrsto Hurwitzeve ζ:

v točki . Podobne vrste se lahko izpeljejo s preprosto algebro:

in alternirajoče vrste:

Za celo število se lahko vrsta:

zapiše kot končna vsota:

Izraz sledi iz preproste rekurzivne enačbe .

Naslednja vrsta:

se lahko za celo število zapiše kot:

Izraz sledi iz enakosti . Ta proces se lahko uporabi rekurzivno za končno vsoto splošnih izrazov oblike:

Polcele potenčne vrste

Podobne vrste se lahko razvijejo z raziskovanjem Hurwitzeve funkcije ζ za polcela števila. Tako je na primer vrsta:

Izrazi v obliki p-vrst (hiperharmoničnih vrst)

Adamchik in Srivastava sta podala vrsti:

in:

kjer so Bernoullijeva števila, pa Stirlingova števila 2. vrste.

Druge vrste

Drugi konstanti s pomembnima racionalnima vrstama ζ sta na primer:

Hinčinova konstanta Apéryjeva konstanta

Sklici

Viri

Kategorija:Funkcije zeta in L-funkcije Kategorija:Realna števila