Gama rozdelenie je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti s dvoma parametrami. Jeho špeciálnymi prípadmi sú exponenciálne rozdelenie a -rozdelenie. Patrí k pravostranne (pozitívne) zošikmeným rozdeleniam.
Gama rozdelenie sa používa na modelovanie pravdepodobnosti doby čakania, tiež sa používa v poistnej matematike pri modelovaní výšky poistných plnení. Na tento účel sa používa aj exponenciálne rozdelenie, no pretože gama rozdelenie je na rozdiel od neho závislé od dvoch parametrov, je vhodnejšie a pri tomto modelovaní aj viac flexibilnejšie. Napriek tomu neodhaduje dobre pravdepodobnosť extrémne vysokých poistných plnení.
Definícia Nech je náhodná veličina a nech a . Hovoríme, že táto náhodná veličina má gama rozdelenie s parametrami a , ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:
kde označenie označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:
Parameter nazývame parameter tvaru a zase paramater škály.
Označenie:
Ďalšie vyjadrenia Jedna z dôležitých vlastností gama rozdelenia je tá, že pokiaľ máme dve, prípadne viac, náhodných premenných, ktoré majú gama rozdelenie, tak ich súčet má tiež gama rozdelenie, menia sa iba parametre.
Nech a sú dve náhodné veličiny, ktoré sú nezávislé, pričom každá z nich má gama rozdelenie s parametrami a , ďalej nech pre parametre platí nasledovné: , a . Potom náhodná veličina , má tiež gama rozdelenie s parametrami
Majme nezávislých náhodných premenných , pričom každá z nich má gama rozdelenie a parametrami . Pre parametre platí: a pre . Potom náhodná veličina nasledovného tvaru:
má tiež gama rozdelenie s parametrami .
Vzťah k iným rozdeleniam Z definície vyplýva, že pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti položíme parameter , tak dostaneme hustotu pravdepodobnosti exponenciálneho rozdelenia s parametrom , teda:
Pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti gama rozdelenia položíme parameter , pričom je celé kladné číslo a druhý parameter , tak dostaneme -rozdelenie s stupňami voľnosti, teda
Vlastnosti Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:
Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej :
Pre koeficient šikmosti platí nasledovný vzťah:
Momentová vytvárajúca funkcia má nasledovný tvar:
pre .
Pre charakteristickú funkciu náhodnej veličiny s gama rozdelením zase platí nasledovné:
pričom pre parametre platí: , a .
Poznámky V závislosti od literatúry sa používa rôzne značenie parametrov tohto rodelenia. Namiesto gréckych písmen a sa zvyknú používať písmená našej abecedy, a (pričom v niektorej literatúre potom parameter zodpovedá a parameter zodpovedá ).
Iné projekty
Zdroje
Kategória:Náhodné rozdelenia