Равноугольный многоугольник — это многоугольник у которого все углы равны В евклидовой геометрии угол каждого выпуклого равноугольного n-угольника равен .
Для равноугольных многоугольников верна теорема ВивианиElias Abboud "On Viviani’s Theorem and its Extensions" pp. 2, 11: Сумма расстояний от внутренней точки до сторон равноугольного многоугольника не зависит от расположения точки и является инвариантом многоугольника.
Прямоугольник с целыми длинами сторон можно разделить на единичные квадраты, а равноугольный шестиугольник с целыми длинами сторон можно разделить на правильные треугольники. Некоторые равноугольные двенадцатиугольники разлагаются на комбинации единичных квадратов и равносторонних треугольников. Для остальных нужны дополнительные ромбы с углами 30° и 150°
Отсюда следует, что если n нечётно, то циклический многоугольник равноуголен тогда и только тогда, когда он правильный
Вписанный многоугольник равноуголен тогда и только тогда, когда ровны чередующиеся стороны (то есть, стороны 1, 3, 5, . . . равны друг-другу, и стороны 2, 4, 6, . . . тоже равны). Отсюда следует, что если n нечётно, то циклический многоугольник равноуголен тогда и только тогда, когда он правильный.
Для простого числа p любой равноугольный p-угольник с целыми сторонами является правильным. Более того, любой равноугольный pk-угольник с целыми сторонами имеет p-кратную вращательную симметрию.
Примечания
Литература
Ссылки
A Property of Equiangular Polygons: What Is It About? обсуждение теоремы Viviani на Cut-the-knot.
Категория:Многоугольники