Теорема Атьи — Зингера об индексе — утверждение о равенстве аналитического и топологических индексов эллиптического оператора на замкнутом многообразии. Установлено и доказано в 1963 году Майклом Атьёй и Изадором Зингером.
Результат способствовал обнаружению новых связей между алгебраической топологией, дифференциальной геометрией и глобальным анализом, нашёл применение в теоретической физике, а исследование его обобщений сформировалось в отдельное направление — теорию индекса.
Определения и формулировка Аналитический индекс дифференциального оператора , где и — гладкие векторные расслоения над дифференцируемым замкнутым многообразием , — это разность между размерностями его ядра и коядра: .
Для эллиптических операторов эти размерности конечны.
Топологический индекс эллиптического оператора определяется как: , где — символ оператора , определяющий изоморфизм поднятий , — расслоение единичных сфер кокасательного расслоения многообразия , — расслоение над склейкой двух экземпляров пространства расслоений единичных шаров в ( — край ); — когомологический характер Чженя расслоения ; — когомологический класс Тодда комплексифицированного кокасательного расслоения ; ; , а часть «» означает взятие -мерной компоненты элемента на фундаментальном цикле многообразия .
Утверждение теоремы заключается в равенстве аналитического и топологического индекса эллиптических операторов на замкнутых многообразиях.
История Частные проявления соотношения, выраженного в теореме об индексе, были обнаружены ещё в XIX веке, такова, например, формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы, а также её многомерные обобщения. Ещё одно проявление такой связи — теорема Римана — Роха для неособых алгебраических кривых (1865) и её обобщение на произвольные векторные расслоения на компактных комплексных многообразиях — (1954).
Вопрос о возможном соотношении аналитического индекса эллиптических операторов и их топологических характеристик сформулировал Израиль Гельфанд в 1960 году, обратив внимание на инвариантность аналитического индекса относительно деформаций оператора. В 1963 году Атьёй и Зингером найдена такая топологическая характеристика; в 1964 году опубликовано доказательство для многообразий с краем. Первые варианты доказательства использовали технику, сходную с доказательством Фридриха Хирцебруха обобщения гипотезы Римана — Роха, в значительной степени привлекали средства теории когомологий и кобордизмов и отличались значительной технической сложностью. Через несколько лет формулировка и доказательство были переведены на язык -теории, тем самым доказательство существенно упрощено, и открыта возможность для дальнейших обобщений, и в 1970-е — 1990-е годы аналоги теоремы были получены для более широких и различных специальных классов объектов.
Теорема об индексе (наряду с -теорией и аналогом формулы Лефшеца для эллиптических операторов) была упомянута в номинации Атьи на Филдсовскую премию 1966 года. В 2004 году за теорему об индексе Атья и Зингер удостоены премии Абеля.
Следствия Из теоремы следует, что топологический индекс эллиптического оператора на замкнутом многообразии — целое число. Другое следствие — аналитический и топологический индексы для оператора на многообразии нечётной размерности равны нулю.
Теорема Римана — Роха и её обобщения — и — естественные следствия теоремы об индексе.
Примечания
Литература
Категория:Топология