Неравенство Лоясевича — утверждение анализа, установленное польским математиком , дающее верхнюю оценку для расстояния от точки произвольного компакта до множества нулевого уровня вещественной аналитической функции многих переменных: для вещественно аналитической на непустом открытом множестве функции , если множество её нулей непусто, то для любого непустого компакта существуют такие константы и , что имеет место неравенство:
для всех , число в котором может быть достаточно большим.
Кроме того, для любой точки существует достаточно малая её окрестность и такие константы и , что имеет место второе неравенство Лоясевичаː
для всех . Из второго неравенства очевидно следует, что для каждой критической точки вещественно аналитической функции существует такая окрестность, что функция принимает то же самое значение во всех критических точках из этой окрестности.
Результат находит применения в различных разделах математики, в том числе, в вещественной алгебраической геометрии, в анализе, в теории дифференциальных уравненийВ.И. Арнольд, Ю.С. Ильяшенко. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Динамические системы – 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985.Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко, Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей, УМН, 46:1(277) (1991), 3–39..
Примечания
Литература Tobias Holck Colding, William P. Minicozzi II, Lojasiewicz inequalities and applications, arXiv:1402.5087 Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. — М.: Мир, 1968.
Категория:Неравенства Л Категория:Алгебраическая геометрия