Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:
Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным, поскольку среднее геометрическое двух чисел и обладает следующим свойством: , то есть среднее геометрическое относится к первому числу так же, как второе число к среднему геометрическому.
Свойства Так же, как и любое другое среднее значение, среднее геометрическое лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:
Среднее геометрическое двух чисел является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:
Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического. Десятичный логарифм среднего геометрического нескольких чисел является средним арифметическим десятичных логарифмов этих чисел. Поскольку десятичный логарифм показывает порядок величины числа в десятичной системе, то среднее геометрическое является средним по порядку величины. Например, для чисел 2 (~) и 9000 (~) среднее арифметическое - 4501 ~ , среднее гармоническое - 4 ~ , а среднее геометрическое - 134 ~ .
Среднее геометрическое взвешенное
Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как
В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.
В геометрии
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, и тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину. Это построение позволяет извлекать квадратный корень из заданного отрезка с помощью циркуля и линейки если отложить один из отрезков равным отрезку единичной длины.
Обобщения Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных при . Среднее геометрическое является средним Колмогорова при .
Примечания
См. также Геометрическая пропорция Геометрическая прогрессия Неравенство Швейцера
Геометрическое