Ма́трица сдви́га (также сдви́говая ма́трица) — бинарная матрица с единицами только на главных наддиагонали или поддиагонали и нулями в остальных местах. Сдвиговая матрица с единицами на наддиагонали называется верхне-сдвиговой матрицей. Соответствующая поддиагональная матрица называется нижне-сдвиговой матрицей. Компоненты матриц U и L с индексами имеют вид
где — дельта-символ Кронекера.
Например, сдвиговая 5×5-матрица
Очевидно, при транспонировании нижне-сдвиговой матрицы получается верхне-сдвиговая матрица, и наоборот. Умножение слева произвольной матрицы на нижне-сдвиговую матрицу приводит к сдвигу элементов матрицы вниз на одну позицию, причём верхняя строчка результирующей матрицы заполняется нулями. Умножение справа произвольной матрицы на нижне-сдвиговую матрицу приводит к сдвигу влево на одну позицию с заполнением нулями правого столбца. Аналогичные операции с участием верхне-сдвиговой матрицы приводят к противоположным сдвигам.
Все сдвиговые матрицы нильпотентны: сдвиговая -матрица в степени, равной её размерности , равна нулевой матрице.
Свойства Пусть и — -матрицы сдвига, нижняя и верхняя, соответственно. Следующие свойства верны для обеих матриц и (поэтому приведём их только для ): Определитель = 0 (вырожденность); След = 0; Ранг Характеристический многочлен матрицы имеет вид:
= 0 (нильпотентность). Это свойство следует из предыдущего по теореме Гамильтона — Кэли.
Перманент = 0.
Следующие свойства показывают, как матрицы и связаны между собой: ; .
Ядра матриц и :
Спектр матриц и нулевой (т.е. они имеют единственное собственное значение, и оно равно нулю): . Алгебраическая кратность этого нуля равна , а его геометрическая кратность равна 1. Из выражений для ядер следует, что единственный (с точностью до масштабирования) собственный вектор матрицы имеет вид а единственный собственный вектор матрицы имеет вид
Для произведений и имеем:
Обе эти матрицы идемпотентны, симметричны и имеют то же ранг, что и и .
(единичная матрица), для любого целого от 0 до включительно.
Примеры
Тогда:
Очевидно, существует много различных перестановок. Например, матрица соответствует сдвигу матрицы вверх и влево вдоль главной диагонали.
См. также Нильпотентная матрица
Ссылки Shift Matrix — entry in the Matrix Reference Manual
Категория:Типы матриц