В теории чисел квадратным треугольным числом (или треугольным квадратным числом) называется число, являющееся как треугольным, так и квадратным. Существует бесконечное число квадратных треугольных чисел.

Например, число 36 является и квадратным (), и треугольным : {| cellpadding="5" |- align="center" valign="bottom" | style="line-height: 0; display: inline-block;"| | style="line-height: 0; display: inline-block"|

Квадратные треугольные числа образуют последовательность: 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, … ().

Формулы Будем записывать Nk для k-го квадратного треугольного числа, sk и tk для сторон квадрата и треугольника соответственно, тогда

Последовательности Nk, sk и tk присутствуют в OEIS (, и соответственно).

В 1778 году Леонард Эйлер установил явную формулу. — «According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.».

Другие эквивалентные формулы, которые могут быть выведены из этой формулы:

Соответствующие явные формулы для sk и tk:

и

Уравнение Пелля Связь квадратных треугольных чисел с уравнением Пелля можно получить следующим образом:

любое треугольное число имеет вид t(t + 1)/2, так что нужно найти t и s такие, что

Умножая левую и правую часть на 8 и выделяя полный квадрат, получим

подставляя теперь x = 2t + 1 и y = 2s, мы получим диофантово уравнение

которое является уравнением Пелля. Решениями этого уравнения служат числа Пелля Pk. — «Theorem 244».

и потому все решения задаются формулами

Имеется множество тождеств, связанных с числами Пелля, а вышеприведённые формулы переводят их в тождества с квадратными треугольными числами.

Рекуррентные отношения Имеются рекуррентные отношения для квадратных треугольных чисел, как и для сторон соответствующих квадратов и треугольников. Мы имеем

А также

Другие свойства Все квадратные треугольные числа имеют вид b2c2, где b / c — значение подходящей дроби для непрерывной дроби квадратного корня из 2.

А. В. Сильвестер (A. V. Sylwester) дал короткое доказательство бесконечности количества квадратных треугольных чисел, а именно:

Если треугольное число n(n+1)/2 является квадратом, то существует большее треугольное число:

И это значение должно быть квадратом, поскольку является произведением трёх квадратов: (очевидно), (n-ое треугольное число — по предположению является квадратом) и (очевидно).

Производящей функцией для квадратных треугольных чисел будет:

Численные значения С увеличением k, отношение tk / sk стремится к , а отношение соседних квадратных треугольных чисел стремится к .

Примечания

Ссылки Triangular numbers that are also square at cut-the-knot

Michael Dummett’s solution

Категория:Фигурные числа Категория:Целочисленные последовательности