Тороидальная система координат — ортогональная система координат в пространстве, координатными поверхностями которой являются торы, сферы и полуплоскости. Данная система координат может быть получена посредством вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, равноудалённой от фокусов биполярной системы.
Определение
Связь с декартовыми координатами Тороидальная система координат определяется посредством формул перехода из этих координат в декартовы координаты: , где — масштабный множитель и радиус окружности в которую вырождается тороидальная координатная поверхность при . Пределы изменения координаты . Обращаясь в бесконечность на указанной окружности, она стремится к нулю на бесконечности, а также в любой точке оси . Две другие координаты являются циклическими с периодом , например можно выбрать
Связь с цилиндрическими координатами Формулы перехода из тороидальных координат в цилиндрические координаты :
Для обратного преобразования при известных цилиндрических координатах точки вычисляют значения — максимальное и минимальное расстояние от данной точки до окружности , через которые затем выражаются
Альтернативное определение В русскоязычной литературе тороидальными могут называться и более простые координаты , такие, что:
(в англоязычной литературе такие координаты называют , а не ). В этом случае циклические координаты называют полоидальным и тороидальным углами соответственно. В приложении к расчётам тородальных плазменных конфигураций, таких как токамак, помимо этих терминов ещё используется термин „магнитная ось“ для окружности , на которой . Вблизи магнитной оси координаты для обеих систем приближенно совпадают, а координаты и связываются между собой соотношением: . Могут также вводиться криволинейные потоковые координаты, в которых координатными поверхностями являются топологически тороидальные магнитные поверхности (на которых давление плазмы постоянно, а нормальная компонента магнитного поля равна нулю. В этом случае являющаяся аналогом переменных или „потоковая“ координата служит только „меткой“ магнитной поверхности и её числовое значение несущественно.
Свойства Координатные поверхности
— торы
,
— сферы
,
— полуплоскости
.
Дифференциальные характеристики
Метрический тензор в тороидальных координатах имеет вид:
Он является диагональным, так как тороидальная система координат является ортогональной.
Квадрат линейного элемента: .
Квадрат элемента площади: .
Элемент объёма: .
Коэффициенты Ламе: .
Якобиан: .
Символы Кристоффеля второго рода:
Вид дифференциальных операторов в тороидальных координатах Градиент скалярной функции в тороидальных координатах задается следующим выражением:
Дивергенция векторного поля:
Оператор Лапласа:
Дифференциальные уравнения в тороидальных координатах Уравнение Лапласа в тороидальных координатах имеет вид:
Решение удобно искать в виде:
,
тогда уравнение для функции : .
После чего можно разделить переменные: .
В результате получится система:
В случае уравнения Гельмгольца в тороидальных координатах переменные не делятся.
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Системы координат