Несмещённая оце́нка в математической статистике — это точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру.
Определение
Пусть — выборка из распределения, зависящего от параметра Тогда оценка называется несмещённой, если , где — математическое ожидание; — квантор всеобщности. В противном случае оценка называется смещённой, и случайная величина называется её смеще́нием.
Примеры
Выборочное среднее является несмещённой оценкой математического ожидания , так как если , , то .
Пусть независимые случайные величины имеют конечную дисперсию . Построим оценки — выборочная дисперсия, и — исправленная выборочная дисперсия. Тогда является смещённой, а несмещённой оценками параметра . Смещённость можно доказать следующим образом.
Пусть и — среднее и его оценка соответственно, тогда:
Добавив и отняв , а затем сгрупировав слагаемые, получим:
Возведём в квадрат и получим:
Заметив, что , получим:
Учитывая, что (свойство математического ожидания); — дисперсия; , т.к. , учитывая, что и независимые и , т.е. , получим:
Литература и некоторые ссылки M. G. Kendall. "The advanced theory of statistics (vol. I). Distribution theory (2nd edition)". Charles Griffin & Company Limited, 1945. M. G. Kendall and A. Stuart. "The advanced theory of statistics (vol. II). Inference and relationship (2nd edition)". Charles Griffin & Company Limited, 1967. A. Papoulis. Probability, random variables, and stochastic processes (3rd edition). McGrow-Hill Inc., 1991. G. Saporta. "Probabilités, analyse des données et statistiques". Éditions Technip, Paris, 1990. J. F. Kenney and E. S. Keeping. Mathematics of Statistics. Part I & II. D. Van Nostrand Company, Inc., 1961, 1959. I. V. Blagouchine and E. Moreau: "Unbiased Adaptive Estimations of the Fourth-Order Cumulant for Real Random Zero-Mean Signal", IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 57, no. 9, pp. 3330–3346, September 2009. An Illuminating Counterexample
Категория:Математическая статистика