Мера иррациональности действительного числа α — это действительное число μ, показывающее, насколько хорошо α может быть приближено рациональными числами.
Определение Пусть α — действительное число, и пусть M(α) — множество всех чисел μ таких, что неравенство имеет лишь конечное число решений в целых числах и :
Тогда мера иррациональности числа определяется как точная нижняя грань :
Если , то полагают .
Другими словами, — наименьшее число, такое, что для любого для всех рациональных приближений с достаточно большим знаменателем верно, что .
Возможные значения меры иррациональности тогда и только тогда, когда — рациональное число. Если — алгебраическое иррациональное число, то . Если — трансцендентное число, то . В частности, если , то число называют лиувиллевым числом.
Связь с цепными дробями Если — разложение числа в цепную дробь, и — -ая подходящая цепная дробь, то
С помощью этой формулы особенно легко найти меру иррациональности для квадратичных иррациональностей, поскольку разложения их в цепные дроби периодичны. Например, для золотого сечения , и тогда .
Теорема Туэ — Зигеля — Рота По лемме Дирихле, если иррационально, то существует бесконечное количество таких p и q, что , то есть . В 1844 году Лиувиллем была доказана теорема о том, что для любого алгебраического числа степени можно подобрать константу такую, что . В 1908 году Туэ усилил эту оценку. Дальнейшие результаты в этом направлении получили Зигель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Наиболее точная оценка была доказана Ротом в 1955 году, полученную теорему называют . Она утверждает, что если — алгебраическое иррациональное число, то . За это доказательство Рот получил Филдсовскую премию.
Мера иррациональности некоторых трансцендентных чисел Для почти всех трансцендентных чисел мера иррациональности равна 2. Хорошо известно, что , а также известны числа Лиувилля, которые по определению имеют бесконечную меру иррациональности. Однако для многих других трансцендентных констант мера иррациональности неизвестна, в лучшем случае известна некоторая оценка сверху. Например:
В. А. Андросенко, Мера иррациональности числа π/√3 , Изв. РАН. Сер. матем. , 2015, том 79, выпуск 1, 3–20
См. также Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел Цепная дробь
Примечания
Ссылки
Категория:Теория чисел Категория:Иррациональные числа