Исторический термин «решение треугольников» () обозначает решение следующей тригонометрической задачи: найти остальные стороны и/или углы треугольника по уже известным. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника (например, медианы, биссектрисы, высоты, площадь ), а также на случай, когда треугольник располагается не на евклидовой плоскости, а на сфере (сферический треугольник), на гиперболической плоскости (гиперболический треугольник) Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях — например, в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.
Решение плоских треугольников
У треугольника общего вида имеется 6 основных элементов: 3 линейные (длины сторон ) и 3 угловые (). Сторону, противолежащую углу при вершине, традиционно обозначают той же буквой, что и эта вершина, но не заглавной, а строчной (см. рисунок). В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому далее предполагается, что хотя бы одна из известных величин — линейная.
Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Поскольку вариант «заданы три угла» исключён из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов: три стороны; две стороны и угол между ними; две стороны и угол напротив одной из них; сторона и два прилежащих угла; сторона, противолежащий угол и один из прилежащих.
Основные теоремы Стандартным методом решения задачи является использование нескольких фундаментальных соотношений, выполняющихся для всех плоских треугольников: Теорема косинусов
Теорема синусов
Сумма углов треугольника
Из других иногда полезных на практике универсальных соотношений следует упомянуть теорему тангенсов, теорему котангенсов, теорему о проекциях и формулы Мольвейде.
Замечания Для нахождения неизвестного угла надёжнее использовать теорему косинусов, а не синусов, потому что значение синуса угла при вершине треугольника не определяет однозначно самого угла, поскольку смежные углы имеют один и тот же синус. Например, если то угол может быть как , так и , потому что синусы этих углов совпадают. Исключением является случай, когда заранее известно, что в данном треугольнике тупых углов быть не может — например, если треугольник прямоугольный. С косинусом такие проблемы не возникают: в интервале от до значение косинуса определяет угол однозначно. При построении треугольников важно помнить, что зеркальное отражение построенного треугольника тоже будет решением задачи. Например, три стороны однозначно определяют треугольник с точностью до отражения. Все треугольники подразумеваются невырожденными, то есть длина стороны не может быть нулевой, а величина угла — положительное число, меньшее, чем .
Три стороны Пусть заданы длины всех трёх сторон . Условие разрешимости задачи — выполнение неравенства треугольника, то есть каждая длина должна быть меньше, чем сумма двух других длин:
Чтобы найти углы , надо воспользоваться теоремой косинусов:
Третий угол сразу находится из правила, что сумма всех трёх углов должна быть равна
Не рекомендуется второй угол находить по теореме синусов, потому что, как указано в замечании 1, существует опасность спутать тупой угол с острым. Этой опасности не возникнет, если первым определить, по теореме косинусов, наибольший угол (он лежит против наибольшей из сторон) — два других угла точно являются острыми, и применение к ним теоремы синусов безопасно.
Ещё один метод вычисления углов по известным сторонам — использование теоремы котангенсов.
Две стороны и угол между ними Пусть для определённости известны длины сторон и угол между ними. Этот вариант задачи всегда имеет единственное решение. Для определения длины стороны применяется теорема косинусов:
Фактически задача сведена к предыдущему случаю. Далее ещё раз применяется теорема косинусов для нахождения второго угла:
Третий угол находится из теоремы о сумме углов треугольника: .
Две стороны и угол напротив одной из них В этом случае решений может быть два, одно или ни одного. Пусть известны две стороны и угол . Тогда уравнение для угла находится из теоремы синусов:
Для краткости обозначим (правая часть уравнения). Это число всегда положительно. При решении уравнения возможны 4 случая, во многом зависящие от D. Задача не имеет решения (сторона «не достаёт» до линии ) в двух случаях: если или если угол и при этом Если существует единственное решение, причём треугольник прямоугольный:
Если то возможны 2 варианта. Если , то угол имеет два возможных значения: острый угол и тупой угол . На рисунке справа первому значению соответствуют точка , сторона и угол , а второму значению — точка , сторона и угол . Если , то (большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол). Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, тупой угол для исключён и решение единственно. Третий угол определяется по формуле . Третью сторону можно найти по теореме синусов:
Сторона и два угла Пусть задана сторона и два угла. Эта задача имеет единственное решение, если сумма двух углов меньше . В противном случае задача решения не имеет.
Вначале определяется третий угол. Например, если даны углы , то . Далее обе неизвестные стороны находятся по теореме синусов:
Решение прямоугольных треугольников
В этом случае известен один из углов — он равен 90°. Необходимо знать ещё два элемента, хотя бы один из которых — сторона. Возможны следующие случаи: два катета; катет и гипотенуза; катет и прилежащий острый угол; катет и противолежащий острый угол; гипотенуза и острый угол.
Вершину прямого угла традиционно обозначают буквой , гипотенузу — . Катеты обозначаются и , а величины противолежащих им углов — и соответственно.
Расчётные формулы существенно упрощаются, так как вместо теорем синусов и косинусов можно использовать более простые соотношения — теорему Пифагора:
и определения основных тригонометрических функций:
Ясно также, что углы и — острые, так как их сумма равна . Поэтому любой из неизвестных углов однозначно определяется по любой из его тригонометрических функций (синусу, косинусу, тангенсу и др.) путём вычисления соответствующей обратной тригонометрической функции.
При корректной постановке задачи (если заданы гипотенуза и катет, то катет должен быть меньше гипотенузы; если задан один из двух непрямых углов, то он должен быть острый) решение всегда существует и единственно.
Два катета Гипотенуза находится по теореме Пифагора:
Углы могут быть найдены с использованием функции арктангенса:
или же по только что найденной гипотенузе:
Катет и гипотенуза Пусть известны катет и гипотенуза — тогда катет находится из теоремы Пифагора:
После этого углы определяются аналогично предыдущему случаю.
Катет и прилежащий острый угол Пусть известны катет и прилежащий к нему угол .
Гипотенуза находится из соотношения
Катет может быть найден либо по теореме Пифагора аналогично предыдущему случаю, либо из соотношения
Острый угол может быть найден как
Катет и противолежащий острый угол Пусть известны катет и противолежащий ему угол .
Гипотенуза находится из соотношения
Катет и второй острый угол могут быть найдены аналогично предыдущему случаю.
Гипотенуза и острый угол Пусть известны гипотенуза и острый угол .
Острый угол может быть найден как
Катеты определяются из соотношений
Решение сферических треугольников
Сферический треугольник общего вида полностью определяется тремя из шести своих характеристик (3 стороны и 3 угла). Стороны сферического треугольника принято измерять не линейными единицами, а величиной опирающихся на них центральных углов.
Решение треугольников в сферической геометрии имеет ряд отличий от плоского случая. Например, сумма трёх углов зависит от треугольника; кроме того, на сфере не существует неравных подобных треугольников, и поэтому задача построения треугольника по трём углам имеет единственное решение. Но основные соотношения: две сферические теоремы косинусов и сферическая теорема синусов, — используемые для решения задачи, аналогичны плоскому случаю.
Из других соотношений могут оказаться полезными формулы аналогии Непера и формула половины стороны.
Три стороны Если даны (в угловых единицах) стороны , то углы треугольника определяются из теоремы косинусов: , , ,
Две стороны и угол между ними Пусть заданы стороны и угол между ними. Сторона находится по теореме косинусов:
Углы можно найти так же, как в предыдущем случае, можно также использовать формулы аналогии Непера:
Две стороны и угол не между ними Пусть заданы стороны и угол . Чтобы решение существовало, необходимо выполнение условия:
Угол получается из теоремы синусов:
Здесь, аналогично плоскому случаю, при получаются два решения: и .
Остальные величины можно найти из формул аналогии Непера: , .
Сторона и прилежащие углы В этом варианте задана сторона и углы . Угол определяется по теореме косинусов:
Две неизвестные стороны получаются из формул аналогии Непера:
или, если использовать вычисленный угол , по теореме косинусов:
Два угла и сторона не между ними В отличие от плоского аналога данная задача может иметь несколько решений.
Пусть заданы сторона и углы . Сторона определяется по теореме синусов:
Если угол для стороны острый и , существует второе решение:
Остальные величины определяются из формул аналогии Непера:
Три угла Если заданы три угла, стороны находятся по теореме косинусов: , , . Другой вариант: использование формулы половины угла.
Решение прямоугольных сферических треугольников Изложенные алгоритмы значительно упрощаются, если известно, что один из углов треугольника (например, угол ) прямой. Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера или из нижеприведённых соотношений:
Вариации и обобщения Во многих практически важных задачах вместо сторон треугольника задаются другие его характеристики — например, длина медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанного или описанного круга и т. д. Аналогично вместо углов при вершинах треугольника в задаче могут фигурировать иные углы. Алгоритмы решения подобных задач чаще всего комбинируются из рассмотренных выше теорем тригонометрии.
Примеры: Задача Региомонтана: построить треугольник, если известны одна его сторона, длина опущенной на неё высоты и противолежащий угол. Задача Снеллиуса-Потенота. Задача Томаса Финке: найти углы треугольника, если известна сумма двух углов и отношение противолежащих сторон . Задача Ньютона: решить треугольник, если известны одна его сторона, противолежащий угол и сумма двух других сторон.
Примеры практического применения
Триангуляция
Чтобы определить расстояние от берега до недоступной точки — например, до удалённого корабля,— нужно отметить на берегу две точки, расстояние между которыми известно, и измерить углы и между линией, соединяющей эти точки, и направлением на корабль. Из формул варианта «сторона и два угла» можно найти длину высоты треугольника:
Этот метод используется в каботажном судоходстве. Углы при этом оцениваются наблюдениями с корабля известных ориентиров на земле. Аналогичная схема используется в астрономии, чтобы определить расстояние до близкой звезды: измеряются углы наблюдения этой звезды с противоположных точек земной орбиты (то есть с интервалом в полгода) и по их разности (параллаксу) вычисляют искомое расстояние.
Другой пример: требуется измерить высоту горы или высокого здания. Известны углы наблюдения вершины из двух точек, расположенных на расстоянии . Из формул того же варианта, что и выше, получается:
Расстояние между двумя точками на поверхности земного шара
Надо вычислить расстояние между двумя точками на земном шаре: Точка : широта долгота Точка : широта долгота