Первая теорема о среднем значении — одна из теорем об определённом интеграле. __NOTOC__ Формулировка Пусть функция интегрируема на отрезке , и ограничена на нём числами и так, что . Тогда существует такое число , , что
.
Доказательство Из неравенства по свойству монотонности интеграла имеем
.
Обозначив , получим требуемое утверждение. Так определённое число называют средним значением функции на отрезке , откуда и название теоремы.
Замечание Если функция непрерывна на , то в качестве и можно взять её наибольшее и наименьшее значения (которые, по теореме Вейерштрасса, достигаются), тогда по теореме о промежуточном значении существует такая точка , что , поэтому утверждение теоремы можно переписать в виде
.
Если воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, то это равенство запишется как
,
где — первообразная функции , что есть не что иное, как формула Лагранжа для функции .
Обобщение Пусть функции и интегрируемы на отрезке , причём по-прежнему , а вторая из них не меняет знак (то есть либо всюду неотрицательна: , либо всюду неположительна ). Тогда существует такое число , , что
.
Доказательство Пусть неотрицательна, тогда имеем
,
откуда, ввиду монотонности интеграла
.
Если , то из этого неравенства следует, что , и утверждение теоремы выполняется при любом . В противном случае положим
.
Обобщение доказано. Если функция непрерывна, можно утверждать, что существует точка такая, что
(аналогично предыдущему).
Литература
Среднем Категория:Интегральное исчисление Категория:Средние величины