Группа Гейзенберга — группа, состоящая из квадратных матриц вида
где элементы a, b, c принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей. В качестве такого кольца R чаще всего берется: кольцо вещественных чисел — так называемая непрерывная группа Гейзенберга, обозначается , или кольцо целых чисел — так называемая дискретная группа Гейзенберга, обозначается , или кольцо вычетов с простым числом p — группа обозначается .
Названа в честь Вернера Гейзенберга, который использовал эту группу в квантовой механике: непрерывная группа Гейзенберга используется для описания одномерных квантово-механических систем.
Алгебра Гейзенберга Алгебра Ли группы Гейзенберга (над полем вещественных чисел) известна как алгебра Гейзенберга. Она может быть реализована в пространстве матриц 3×3 вида Proposition 3.26
где .
Следующие три матрицы образуют базис для ,
И удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям: .
Название "Группа Гейзенберга" мотивируется тем, что соотношения имеют ту же форму, что и каноническое коммутационное соотношение в квантовой механике ,
где — оператор координаты, — оператор импульса, и — постоянная Планка.
Вариации и обобщения Группа Гейзенберга обобщается на любое число измерений. Именно, группа Гейзенберга состоит из квадратных матриц порядка n+2:
элементы принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей.
Непрерывная группа Гейзенберга представляет собой связную, односвязную группу Ли (с топологией, порожденной стандартной топологией ), алгебра Ли которой (размерности 2n+1) состоит из матриц вида
Примечания
Литература Кириллов А.А. Элементы теории представлений, — М.: Наука, 1978. Ernst Binz & Sonja Pods. Geometry of Heisenberg Groups, — American Mathematical Society, 2008, ISBN 978-0-8218-4495-3. Roger Evans Howe. On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis, — Bulletin of the American Mathematical Society 1980, 3(2):821. A.A. Kirilov. Lectures on the Orbit Method (Chapter 2: Representations and Orbits of the Heisenberg Group), — American Mathematical Society, 2004.
Категория:Теория групп Категория:Теоретическая физика Категория:Матрицы