Общий метод решета числового поля

Общий метод решета числового поля (, GNFS) — метод факторизации целых чисел. Является наиболее эффективным алгоритмом факторизации чисел длиной более 110 десятичных знаков. Сложность алгоритма оценивается эвристической формулой

Метод является обобщением специального метода решета числового поля: тогда как последний позволяет факторизовать числа только некоторого специального вида, общий метод работает на множестве целых чисел, за исключением степеней простых чисел (которые факторизуются тривиально извлечением корней).

История В 1988 году английский математик описал новый метод факторизации целых чисел специальной формы (), проиллюстрировав его разложением седьмого числа Ферма . В отличие от метода квадратичного решета, в котором просеивание выполняется в кольце всех целых чисел, в методе предлагалось использовать кольцо целых чисел над числовым полем . Рукопись была приложена к письму, адресованному , также копии получили Ричард Брент, , Хендрик Ленстра, и Х. Суяма. В этом письме Поллард предположил, что возможно этот метод может быть использован для разложения девятого числа Ферма.

В 1990 году А. Ленстра, Х. Ленстра, Марк Манассе и Поллард описали первую крупномасштабную реализацию нового метода с некоторыми усовершенствованиями. Они показали, что на числах специального вида алгоритм работает быстрее, чем все остальные известные методы факторизации. Также в работе обсуждается идея Джо Бухлера и Карла Померанса об усовершенствовании метода для разложения любых целых чисел и приводятся наброски решения этой задачи.

Позднее Леонард Макс Адлеман предложил использовать квадратичный характер для нахождения квадратов в числовом поле. Это предоставило альтернативное решение проблемы, поднятой Бухлером и Померансом, и улучшило предположительное время работы решета числового поля в применении к числам не специального вида.

В том же году А. Ленстра, Х. Ленстра, Манассе и Поллард представили разложение девятого числа Ферма с помощью метода числового поля. В соответствующей работе обсуждаются многие детали этого разложения.

Наконец, в работе «Факторизация целых чисел с помощью решета числового поля» Бухлер, Х. Ленстра и Померанс описали метод решета числового поля в применении к числам, которые не обязательно имеют специальный вид. Эта реализация алгоритма содержала шаг, предполагающий вычисления с использованием чрезвычайно больших чисел. Джин-Марк Кувейгнес в своей работе описал способ обойти это.

Итоги раннего развития метода подвёл сборник статей под редакций А. Ленстры и Х. Ленстры. В том числе сборник включал статью Бернштейна и А. Ленстры, описывающую очередную улучшенную реализацию алгоритма. Статья вошла в сборник под заголовком «Общий метод решета числового поля».

Суть метода Метод решета числового поля (как специальный, так и общий) можно представить как усовершенствование более простого метода — метода рационального решета либо метода квадратичного решета. Подобные им алгоритмы требуют нахождения гладких чисел порядка . Размер этих чисел экспоненциально растёт с ростом . Метод решета числового поля, в свою очередь, требует нахождения гладких чисел субэкспоненциального относительно размера. Благодаря тому, что эти числа меньше, вероятность того, что число такого размера окажется гладким, выше, что и является причиной эффективности метода решета числового поля. Для достижения ускорения вычислений в рамках метода проводятся в числовых полях, что усложняет алгоритм, по сравнению с более простым рациональным решетом.

Основные принципы Метод факторизации Ферма для факторизации натуральных нечетных чисел n, состоящий в поиске таких целых чисел x и y, что , что ведет к разложению . Нахождение подмножества множества целых чисел, произведение которых — квадратИ. В. Агафонова Факторизация больших целых чисел и криптография . Составление факторной базы: набора , где pi — простые числа, такие, что для некоторого B. Просеивание выполняется подобно решету Эратосфена (откуда метод и получил своё название). Решетом служат простые числа факторной базы и их степени. При просеивании число не «вычёркивается», а делится на число из решета. Если в результате число оказалось единицей, то оно B-гладкое. Основная идея состоит в том, чтобы вместо перебора чисел и проверки, делятся ли их квадраты по модулю n на простые числа из факторной базы, перебираются простые числа из базы и сразу для всех чисел вида проверяется, делятся ли они на это простое число или его степень.

Алгоритм

Пусть — нечетное составное число, которое требуется факторизовать.

Выберем степень неприводимого многочлена (при не будет выигрыша в сравнении с методом квадратичного решета).

Выберем целое такое, что , и разложим n по основанию :

(1)

Свяжем с разложением (1) неприводимый в кольце полиномов с целыми коэффициентами многочлен

Определим полином просеивания как однородный многочлен от двух переменных и : (2)

Определим второй полином и соответствующий однородный многочлен .

Выберем два положительных числа и , определяющих область просеивания (англ. sieve region):

Пусть — корень . Рассмотрим кольцо полиномов . Определим множество, называемое алгебраической факторной базой , состоящее из многочленов первого порядка вида с нормой (2), являющейся простым числом. Эти многочлены — простые неразложимые в кольце алгебраических целых поля . Ограничим абсолютные значения норм полиномов из константой .

Определим рациональную факторную базу , состоящую из всех простых чисел, ограниченных сверху константой .

Определим множество , называемое факторной базой квадратичных характеров. Это множество полиномов первого порядка , норма которых - простое число. Должно выполняться условие .

Выполним просеивание многочленов по факторной базе и целых чисел по факторной базе . В результате получим множество , состоящее из гладких пар , то есть таких пар , что НОД(a,b) = 1, полином и число и раскладываются полностью по и соответственно.

Найдём такое подмножество , что

Определим многочлен

где — производная

Многочлен является полным квадратом в кольце полиномов . Пусть тогда есть корень из и — корень из .

Строим отображение , заменяя полином числом . Это отображение является кольцевым гомоморфизмом кольца алгебраических целых чисел в кольцо , откуда получаем соотношение:

Пусть . Найдём пару чисел таких, что . Тогда найдём делитель числа , вычисляя НОД(n, A ± B), как это делается, например, в методе квадратичного решета.

Подробное описание алгоритма можно найти, например, в и .

Реализации До 2007 года наиболее успешной реализацией считалось программное обеспечение, разработанное и распространяемое Центром математики и информатики (CWI) в Нидерландах, распространявшееся под закрытой лицензией.

В 2007 году реализовал часть алгоритма, занимающуюся окончательной обработкой данных, так, что она работала быстрее версии CWI. Этот код входит в библиотеку msieve. Msieve написана Пападопулосом и другими участниками проекта на C и включает в себя реализации общего метода решета числового поля и квадратичного решета. Распространяется на правах общественного достояния. Поддерживает распределенные вычисления. Последняя версия msieve может быть найдена на сайте автора.

Некоторые другие реализации общего метода решета числового поля: NFS@Home - исследовательский проект, направленный на факторизацию больших чисел с помощью общего метода решета числового поля, использующий сеть из подключившихся к проекту компьютеров для просеивания. GGNFS , распространяется под GPL. pGNFS factor by gnfs CADO-NFS kmGNFS

Достижения В 1996 году с помощью алгоритма было получено разложение числа RSA-130. Позднее с помощью метода были факторизованы, например, числа RSA-140Cavallar S., Dodson B., Lenstra A. K., Leyland P. C., Lioen W. M., Montgomery P. L., Murphy B., te Riele H. J. J., Zimmerman P. Factorization of RSA-140 using the number field sieve / CWI Report MAS-R9925, September 1999., и RSA-155Cavallar S., Lioen W. M., te Riele H. J. J., Dodson B., Lenstra A. K., Montgomery P. L., Murphy B. et al. Factorization of 512-bit RSA-modulus / CWI Report MAS-R0007, February 2000.. На разложение последнего потребовалось более 8000 mips лет. 9 мая 2005 года Ф. Бар, М. Бом, Йенс Франке и Т. Клейнжунг объявили, что они разложили число RSA-200, используя общий метод решета числового поля.

В 2009 году группе учёных из Швейцарии, Японии, Франции, Нидерландов, Германии и США удалось успешно вычислить данные, зашифрованные при помощи криптографического ключа стандарта RSA длиной 768 битов.Анонс факторизации RSA-768 Как следует из описания работы, вычисление значений ключа осуществлялось общим методом решета числового поля. По словам исследователей, после их работы в качестве надежной системы шифрования можно рассматривать только RSA-ключи длиной 1024 бита и более.Факториация RSA-768

См. также

Специальный метод решета числового поля Факторизация целых чисел

Примечания

Категория:Алгоритмы факторизации