Компле́ксСм., например,
Русский орфографический словарь Российской академии наук // Отв. ред. В. В. Лопатин, 2007. (от — связь, сочетание) — одно из основных понятий комбинаторной топологии.
Комплексом называется частично упорядоченное правильным, рефлексивным и транзитивным отношением «» множество каких-либо элементов , вместе с некими функциями и .
Целочисленная функция называется размерностью элемента , функция — коэффициентом инцидентности элементов и . Эти функции должны удовлетворять следующим условиям: из следует, что ; ; из следует, что либо , либо , и ; для любой пары элементов , из , для которых , в найдётся не более, чем конечное число таких элементов , что и .
Связанные определения При замене на , где — функция со значениями ±1, получается комплекс, отождествляемый с . Таким образом, коэффициенты инциденции задаются с точностью до множителя . Переход от одного значения к другому называется переменой ориентации комплекса .
Комплекс называется конечномерным (-мерным), если существует такое , равное максимальной размерности симплексов из ; в противном случае, он называется бесконечномерным. Комплекс называется конечным, если множество его элементов конечно.
Звездой элемента комплекса называется множество всех таких элементов из , для которых выполняется условие .
Замыканием элемента из называется множество всех таких элементов из , что .
Границей элемента из называется множество всех таких элементов из , что одновременно и .
Элемент называется гранью элемента из , если . При грань элемента называется истинной гранью.
Элементы и из называются инцидентными, если или .
Подкомплексом комплекса называется любое подмножество множества , являющееся комплексом при тех же размерностях и коэффициентах инцидентности, что и комплекс .
Подкомплекс называется замкнутым, если он содержит замыкание каждого своего элемента, и открытым, если он содержит звезду каждого своего элемента. Дополнение замкнутого комплекса есть открытый комплекс, и наоборот. Звезда каждого элемента любого комплекса является открытым подкомплексом, а замыкание и граница — замкнутыми подкомплексами.
-мерным остовом комплекса называется множество всех таких элементов из , что . Остов является замкнутым подкомплексом.
Комплексы и называется изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение множества на множество , что и :
Важнейшим типом комплекса является симплициальный комплекс.
Симплициальный комплекс имеет две разновидности: абстрактный комплекс; геометрический комплекс.
Примечания
Категория:Алгебраическая топология