Полилине́йная а́лгебра — раздел алгебры, обобщающий понятия линейной алгебры на функции нескольких переменных, линейные по каждому из аргументов.
Основные определения Основным объектом полилинейной алгебры является полилинейное (-линейное) отображение: , где и – векторные пространства над определённым полем . Условие -линейности означает, строго говоря, что для каждого семейство отображений , зависящее от переменных как от параметров, состоит из линейных отображений. Можно также определить -линейное отображение рекурсивно (по индукции), как линейное отображение из в векторное пространство -линейных отображений.
2-линейное отображение называется билинейным, 3-линейное — трилинейным. Если совпадает с полем то отображение называется полилинейной формой.
Полилинейная форма называется симметричной, если её значение не изменятся при перестановке любых двух аргументов, и следовательно, при любой перестановке всех аргументов. Полилинейная форма называется кососимметричной (антисимметричной), если её значение изменяется на противоположное при перестановке любых двух аргументов. Следовательно, при перестановке всех аргументов её значение не изменится, если перестановка чётная, и изменяется на противоположное, если перестановка нечётная. Теорема:Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. II, стр. 52 — М.: Физматлит, 2009. для каждого существует единственная (с точностью до умножения на константу — элемент поля ) кососимметричная -линейная форма . Это — определитель матрицы, составленной из векторов .
Возможно обобщение отображений с векторных пространств (над полями) на модули над кольцами.
Квадратичные и билинейные формы
Алгебраические формы (однородные многочлены на векторных пространствах, задаваемые однородными многочленами от координат вектора) являются важными объектами изучения в линейной алгебре. Наибольший интерес из них представляют квадратичные формы и билинейные формы, но также изучаются и формы высших степеней, полилинейные формы, поликвадратичные формы, некоторые специальные виды форм (полуторалинейные, эрмитовы). Основными вопросами при изучении алгебраических форм являются законы изменения коэффициентов при линейных преобразованиях (заменах координат), способы приведения к каноническому виду посредством линейных преобразований и взаимопредставление форм.
Квадратичная форма — объект линейной алгебры, фигурирующий во многих разделах математики, в частности, в теории чисел, теории групп (ортогональная группа), дифференциальной геометрии, алгебрах Ли (киллингова форма), определяемый как однородный многочлен второй степени в основном поле от переменных ( — размерность рассматриваемого пространства). Квадратичная форма может быть представлена как матрица , которая (при основном поле характеристики, отличной от 2) является симметрической, а каждой симметрической матрице соответствует квадратичная форма, соответственно, над квадратичными формами вводятся те же операции, что и над матрицами (умножение на скаляр, сложение), квадратичные формы могут быть приведены к каноническому виду — диагональной форме: , (одним из практических способов приведения является метод Лагранжа) и рассматривается как класс эквивалентности всех квадратичных форм, приводимых к диагональной форме с соответствующими коэффициентами, внутри таких классов эквивалентности сохраняются ранг и сигнатура.
Рассмотрение пары линейных форм (однородных многочленов первой степени) как единой функции от двух систем переменных (в терминах линейных пространств — над декартовым произведением двух векторных пространств, в наиболее общем случае — над произведением левого и правого унитарных модулей над одним кольцом с единицей) приводит к понятию билинейной формы (с точки зрения тензорной алгебры, билинейная форма рассматривается как тензор ранга ). Как и квадратичная форма, билинейная может быть выражена матрицей, притом всякая билинейная форма может быть представлена квадратичной:
притом, в случае, когда векторное пространство определено над полем характеристики отличной от 2, взаимно единственным образом.
Ввиду особой важности (как для самой линейной алгебры, так и для приложений) наиболее детально изучены свойства симметричных и кососимметричных билинейных форм.
Другие примеры Формализма Тензорное исчисление Алгебра Клиффорда
Объектов Поливектор Грассманиан
Операций Тензорное произведение — создаёт линейное пространство, но отображения, линейные на произведении, соответствуют полилинейным отображениям на исходных пространствах
Примечания
Литература