Теоре́ма Че́вы — классическая теорема аффинной геометрии и геометрии треугольника. Доказана в 1678 году итальянским инженером Джованни Чевой.
Формулировка Определим чевиану как отрезок, соединяющий вершину треугольника с внутренней точкой противоположной стороны.
Три чевианы треугольника проходят через одну точку тогда и только тогда, когда выполняется равенство:
.
Замечания Эта теорема является аффинной, то есть она может быть доказана с использованием только свойств, сохраняемых при аффинных преобразованиях.
Вариации и обобщения
Эту теорему можно обобщить на случай, когда точки лежат на продолжениях сторон . Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков». Оно определено для двух коллинеарных направленных отрезков и и обозначается . Пусть лежат на прямых треугольника . Прямые конкурентны (то есть параллельны или пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда:
.
Теорема Понселе. Исходную теорему Чевы можно обобщить на случай многоугольника с нечетным числом сторон. Тогда её называют теоремой Понселе. Она звучит так: прямые, соединяющие какую-нибудь точку с вершинами многоугольника, имеющего нечётное число сторон, образуют на противоположных его сторонах такие отрезки, что произведение отрезков, не имеющих общих концов, равно произведению остальных отрезков (см. п. 23, с 35. вЗетель С. И. Новая геометрия треугольника. 2-е изд. М.: Учпедгиз, 1962. 153 с.) Тригонометрическая теорема Чевы:
При этом углы здесь считаются ориентированными, то есть есть угол, на который надо повернуть прямую против часовой стрелки, чтобы она совпала с прямой .
О доказательствах Сам Чева привёл доказательство с помощью геометрии масс, но известны также и другие доказательства: методом площадей; с помощью геометрии масс; двойное применение теоремы Менелая и многие другие.
См. также Двойное отношение Отношение направленных отрезков Пропорциональные отрезки Теорема Ван-Обеля о треугольнике Теорема Менелая Чевиана
Литература Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. — : Наука, 1987. —(Библиотечка «Квант»)).
Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М.: МЦНМО, 2002. Филипповский Г. Б. Теоремы Чевы, Менелая и Ван-Обеля// Математика. Все для учителя! № 9 (21). сентябрь. 2012. с. 7-19// https://yagubov.su/MATH2/06K/06615Z.pdf
Шаль, Мишель. О сочинении Чевы, под заглавием: De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio (in — 4°, Milan, 1678). // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. М., 1883. Giovanni Ceva. De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678.
Примечания
Категория:Аффинная геометрия Категория:Геометрия треугольника Чевы