Неевкли́дова геоме́трия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, которая отличается от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам: геометрии Лобачевского и сферической геометрииили локально схожей с ней геометрии Римана..
Как и евклидова, эти геометрии относятся к метрическим геометриям пространства постоянной кривизны. Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная — сферической, отрицательная — геометрии Лобачевского.
Метрика для плоскости
Вид метрики для однородных планиметрий зависит от выбранной системы (криволинейных) координат; далее приводятся формулы для случая полугеодезических координат: Евклидова геометрия: (теорема Пифагора). Сферическая геометрия: . Здесь R — радиус сферы. Геометрия Лобачевского: . Здесь R — радиус кривизны плоскости Лобачевского, ch — гиперболический косинус.
История понятия
Аксиоматика
Выше дано определение неевклидовых геометрий в терминах дифференциальной геометрии; однако можно описать их и с помощью чисто геометрической аксиоматики. Первая полная система аксиом для евклидовой и неевклидовой геометрий была построена Давидом Гильбертом в своём труде «Основания геометрии».
Исторически главное отличие неевклидовых геометрий от евклидовой отмечалось в теории параллельных прямых. Согласно аксиоме евклидовой геометрии, через точку вне данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной; в геометрии Лобачевского таких прямых бесконечно много, а в сферической геометрии параллельных прямых нет вообще (все прямые пересекаются). Именно этот факт Гильберт положил в основу своей аксиоматики. Соответственно многие теоремы в разных геометриях различаются. Примеры:
+ Величина В евклидовой геометрии В геометрииЛобачевского В сферической геометрии Сумма углов треугольника равна меньше больше Отношение длины окружностик её диаметру равно больше меньше
В то же время существует класс аксиом (например, аксиомы движения), общий для всех трёх геометрий. Геометрические теоремы, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского, принято называть «абсолютной геометрией».
См. также Неархимедова геометрия Недезаргова геометрия
Примечания
Литература Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990. — ISBN 978-5-9775-0419-5. Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007. — ISBN 978-5-484-00871-1. Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». 1988. Т. 29. — С. 5-146. Берже М. Геометрия. В 2 т. / Пер. с франц. — М.: Мир, 1984. — 928 с. Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия. Делоне Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского. — М.: Гостехиздат, 1956. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — М.: изд. НКТП СССР, 1936. — 355 с. Лаптев Б. Л. Н. И. Лобачевский и его геометрия. — М.: Просвещение, 1976.
Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: Факториал, 2000.
Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. — Изд. 3-е. — М.: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-166-2. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.
Категория:Неевклидова геометрия Категория:Основания геометрии