Постоя́нная Апери́  (, ) — вещественное число, обозначаемое (иногда ), которое равно сумме обратных к кубам целых положительных чисел и, следовательно, является частным значением дзета-функции Римана: .

Численное значение постоянной выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3…

Названа в честь Роже Апери, доказавшего в 1978 году, что является иррациональным числом (). Изначальное доказательство носило сложный технический характер, позднее найден простой вариант доказательства с использованием многочленов Лежандра. Неизвестно, является ли постоянная Апери трансцендентным числом.

Эта постоянная давно привлекала интерес математиков — ещё в 1735 году Леонард Эйлер вычислил её с точностью до 16 значащих цифр (1,202056903159594).

Приложения в математике и физике

В математике постоянная Апери встречается во многих приложениях. В частности, величина, обратная , даёт вероятность того, что любые три случайным образом выбранных положительных целых числа будут взаимно просты — в том смысле, что при вероятность того, что три положительных целых числа, меньших, чем (и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к .

Постоянная Апери естественным образом возникает в ряде проблем физики, включая поправки второго (и выше) порядков к аномальному магнитному моменту электрона в квантовой электродинамике. Например, результат для двухпетлевой диаграммы Фейнмана, изображённой на рисунке, даёт (здесь предполагается 4-мерное интегрирование по импульсам внутренних петель, содержащих только безмассовые виртуальные частицы, а также соответствующая нормировка, включая степень импульса внешней частицы ). Другой пример — двумерная модель Дебая.

Связь с другими функциями Постоянная Апери связана с частным значением полигамма-функции второго порядка:

и появляется в разложении гамма-функции в ряд Тейлора:

, где в виде факторизуются вклады, содержащие постоянную Эйлера — Маскерони .

Постоянная Апери также связана со значениями трилогарифма (частный случай полилогарифма ): , .

Представления в виде рядов Некоторые другие ряды, члены которых обратны к кубам натуральных чисел, также выражаются через постоянную Апери:

,

.

Другие известные результаты — сумма ряда, содержащего гармонические числа :

,

а также двукратная сумма:

.

Для доказательства иррациональности Роже Апери пользовался представлением:

,

где  — биномиальный коэффициент.

В 1773 году Леонард Эйлер привёл представление в виде ряда (которое впоследствии было несколько раз заново открыто в других работах):

,

в котором значения дзета-функции Римана чётных аргументов могут быть представлены как , где  — числа Бернулли.

Рамануджан дал несколько представлений в виде рядов, которые замечательны тем, что они обеспечивают несколько новых значащих цифр на каждой итерации. Один пример:

получил ряды другого типа

а также аналогичные представления для других постоянных .

Были также получены другие представления в виде рядов:

(Амдеберхан и Цейльбергер, 1997)

Некоторые из этих представлений были использованы для вычисления постоянной Апери со многими миллионами значащих цифр.

В 1998 году получено представление в виде ряда, которое даёт возможность вычислить произвольный бит постоянной Апери.

Представления в виде интегралов Существует также большое количество различных интегральных представлений для постоянной Апери, начиная от тривиальных формул типа

или

следующих из простейших интегральных определений дзета-функции РиманаГ. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления (7-е изд.), с. 769. Наука, Москва, 1969, до достаточно сложных, таких, как (Иоган ЙенсенJohan Ludwig William Valdemar Jensen. Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver. L’Intermédiaire des mathématiciens, tome II, pp. 346—347, 1895.), (F. Beukers A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3). Bull. London Math. Soc. 11, pp. 268—272, 1979.), (Ярослав БлагушинIaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014. PDF ).

Цепные дроби Цепная дробь для константы Апери () выглядит следующим образом:

Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан:

Она может быть преобразована к виду:

Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:

Вычисление десятичных цифр Число известных значащих цифр постоянной Апери значительно выросло за последние десятилетия благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов.

+ Число известных значащих цифр постоянной Апери Дата Количество значащих цифр Авторы вычисления 1735 16 Леонард Эйлер 1887 32 Томас Иоаннес Стилтьес 1996 Greg J. Fee & Simon Plouffe 1997 Bruno Haible & Thomas Papanikolaou 1997, май Patrick Demichel 1998, февраль Sebastian Wedeniwski 1998, март Sebastian Wedeniwski 1998, июль Sebastian Wedeniwski 1998, декабрь Sebastian Wedeniwski 2001, сентябрь Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 2002, февраль Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 2003, февраль Patrick Demichel & Xavier Gourdon 2006, апрель Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo 2009, январь Alexander J. Yee & Raymond Chan 2009, март Alexander J. Yee & Raymond Chan 2010, сентябрь Alexander J. Yee 2013, сентябрь Robert J. Setti 2015, август Ron Watkins 2015, декабрь Dipanjan Nag 2017, август Ron Watkins 2019, май Ian Cutress 2020, июль Seungmin Kim

Прочие свойства Последовательность Эрлса для : (A229074 в OEIS)

-простые числа существуют для (A119334 в OEIS, сами числа - A119333).

Номер первой встречи натурального (начиная с ) в десятичной записи - (A229187 OEIS).

Известно, что последовательности и не встречаются в цифрах числа как минимум до (Вайсстайн, 2013).

Открытые проблемы

До сих пор неизвестно, является ли нормальным числом, но, по крайней мере до , цифры числа распределены достаточно равномерно (Бэйли и Крэндл, 2003).

Другие значения дзета-функции в нечётных точках Существует много исследований, посвящённых другим значениям дзета-функции Римана в нечётных точках при . В частности, в работах и Тангая Ривоаля показано, что иррациональными является бесконечное множество чисел , а также что по крайней мере одно из чисел , , , или является иррациональным.

Примечания

Ссылки

Апери Категория:Теория чисел Категория:Числа с собственными именами Категория:Положительные числа Категория:Иррациональные числа